§ 13. Кинетические явления в газе во внешнем поле

Вращательные степени свободы молекул создают тот механизм, через который внешнее магнитное или электрическое поле может оказывать влияние на кинетические явления в газе. Характер этого влияния одинаков в магнитном и электрическом случаях; будем говорить сначала о газе в магнитном поле.

Вращающаяся молекула обладает, вообще говоря, магнитным моментом, среднее (в квантовомеханическом смысле) значение которого обозначим через . Магнитное поле будем предполагать ограниченным по величине настолько, что произведение мало по сравнению с интервалами тонкой структуры молекулярных уровней. Тогда можно пренебречь влиянием поля на состояние молекулы, так что магнитный момент вычисляется по ее невозмущенному состоянию. При не слишком низких температурах (которые мы и рассматриваем) величина будет мала также и по сравнению с Т; это позволяет пренебречь влиянием поля на равновесную функцию распределения молекул газа.

Магнитный момент направлен вдоль вращательного момента молекулы М; напишем его в виде

Классическому вращению молекулы отвечают большие вращательные квантовые числа; при этом можно пренебречь в М различием между полным (включающим спин) и вращательным моментами. Значение постоянного коэффициента y зависит от рода молекулы и природы ее магнитного момента. Так, для двухатомной молекулы с отличным от нуля спином S имеем

где — магнетон Бора, а число — разность между квантовыми числами полного момента J и вращательного момента К (эта разность пробегает значения ); в знаменателе же различие между J и К. несущественно:

В формуле (13,2) предполагается, что взаимодействие спин—ось в молекуле мало по сравнению с интервалами вращательной структуры уровней (случай b по ).

В магнитном поле В на молекулу действует момент сил, равный Под его влиянием вектор М перестает быть постоянным в течение «свободного» движения молекулы и меняется согласно уравнению

— вектор М прецессирует вокруг направления поля с угловой скоростью . В связи с этим в левую сторону кинетического уравнения должен быть добавлен член , так что уравнение принимает вид

В число переменных Г, от которых зависит функция распределения, должна быть включена также и дискретная переменная а, определяющая значение магнитного момента (если таковая имеется, как в (13,2)).

В задачах о теплопроводности и вязкости снова рассматриваем распределение, близкое к равновесному, представив его в виде

Покажем прежде всего, что член с производной в кинетическом уравнении выпадает. Действительно, поскольку зависит только от энергии молекулы , а производная есть угловая скорость , то

Для молекул типа ротатора и шарового волчка направления М и совпадают, так что выражение (13,6) обращается в нуль тождественно. В других же случаях оно обращается в нуль после усреднения по быстро меняющимся фазам, необходимость которого была объяснена в § 1. При вращении молекул типа симметрического или асимметрического волчка быстро меняется как направление осей самой молекулы, так и направление ее угловой скорости . После указанного усреднения в может остаться лишь составляющая вдоль постоянного вектора М, но для такой составляющей произведение

Остальные члены в кинетическом уравнении преобразуются так же, как это было сделано в § 7 или § 8. Так, для задачи о теплопроводности находим уравнение

Решение этого уравнения снова надо искать в виде но для составления векторной функции мы имеем в своем распоряжении уже не два, а три вектора: v, М, В. Внешнее поле создает в газе избранное направление. В связи с этим процесс теплопроводности становится анизотропным и вместо скалярного коэффициента надо ввести тензор теплопроводности определяющий тепловой поток согласно

Тензор вычисляется по функции распределения как интеграл

Общий вид тензора второго ранга, зависящего от вектора В, есть

(13,10)

где — единичный антисимметричный тензор, а — скаляры, зависящие от абсолютной величины поля В. Тензор (13,10) обладает, очевидно, свойством

(13,11)

Выражению (13,10) отвечает тепловой поток

(13,12)

Последний член здесь представляет собой, как говорят, нечетный эффект: эта часть теплового потока меняет знак при изменении знака поля.

Интегральный член в правой стороне уравнения (13,7) дается формулой (6,5). В его подынтегральном выражении содержится функция пропорциональная плотности газа N.

Выделив этот множитель и разделив на него обе стороны уравнения, найдем, что N входит в уравнение только в комбинациях с полем и градиентом температуры. Отсюда ясно, что функция будет зависеть от параметров только в виде отношения только от этой же величины будут зависеть и интегралы (13,9), а тем самым и коэффициенты в (13,12). Плотность N пропорциональна (при заданной температуре) давлению газа Р. Таким образом, теплопроводность газа в магнитном поле зависит от величины поля и от давления только через отношение .

При увеличении В первый член в правой стороне уравнения (13,7) возрастает, а второй не меняется. Отсюда ясно, что в пределе решение уравнения должно представлять собой функцию, зависящую только от направления (но не от величины) поля, причем эта функция должна обращать тождественно в нуль член в уравнении; соответственно коэффициенты стремятся при к постоянным (не зависящим от В) пределам.

Аналогичным образом рассматривается задача о вязкости газа в магнитном поле. Соответствующее кинетическое уравнение имеет вид

(13,13)

(ср. (6,19)). Решение этого уравнения надо искать в виде Вместо двух коэффициентов вязкости надо ввести теперь тензор четвертого ранга определяющий тензор вязких напряжений согласно

(13,14)

по определению тензор симметричен по парам индексов . По известной функции его компоненты вычисляются как интегралы

(13,15)

Вычисленный таким образом тензор вязкости будет автоматически удовлетворять условию

(13,16)

выражающему собой принцип симметрии кинетических коэффициентов.

С помощью вектора (и единичных тензоров ) можно составить следующие независимые тензорные комбинации со свойствами симметрии тензора

где . Во всех этих комбинациях, за исключением четвертой, свойство (13,16) возникает автоматически как следствие симметрии по парам индексов ; в четвертом же выражении объединение двух членов вызывается лишь условием

Соответственно числу тензоров (13,17) газ в магнитном поле характеризуется в общем случае семью независимыми коэффициентами вязкости. Определим их как коэффициенты в следующем выражении тензора вязких напряжений:

(13,18)

( определено в ). Оно составлено таким образом, что стоят коэффициентами при тензорах, обращающихся в нуль при упрощении по индексам . Коэффициенты же и стоят при тензорах с отличным от нуля следом; их можно назвать коэффициентами второй вязкости. Обратим внимание на то, что они содержат не только скаляр но и Первые два члена в (13,18) соответствуют обычному выражению тензора напряжений, так что - обычные коэффициенты вязкости.

Отметим, что тензоры автоматически оказываются истинными тензорами, так что эти выражения удовлетворяют требованию симметрии по отношению к инверсии. Поэтому отказ от этого требования (для газа стереоизомерного вещества) не привел бы к появлению в них каких-либо новых членов.

Такой отказ приводит, однако, к появлению новых эффектов возникновению теплового потока под влиянием градиентов скорости и возникновению вязких напряжений под влиянием градиента температуры. Эти (так называемые перекрестные) эффекты описываются формулами вида

(13,19)

где и - тензоры третьего ранга, симметричные по паре индексов, отделенных запятой. При указанном в § 9 выборе величин кинетическими коэффициентами являются у. Поэтому в силу принципа Онсагера при наличии магнитного поля должно быть

(13,20)

Общий вид таких тензоров:

(13,21)

Все члены в этом выражении — псевдотензоры, так что соотношения (13,19) с такими коэффициентами не инвариантны по отношению к инверсии.

Остановимся коротко на кинетических явлениях в газе в электрическом поле. Рассмотрим газ, состоящий из полярных (т. е. обладающих дипольным моментом d) молекул типа симметрического волчка. В электрическом поле на полярную молекулу действует момент сил , так что в кинетическом уравнении появится член

Направление d совпадает с осью молекулы и не имеет отношения к ее вращательному моменту М. Однако в результате усреднения по быстрой прецессии оси волчка вокруг направления постоянного вектора М в написанном члене останется лишь проекция d на направление М и он примет вид

(13,22)

где причем переменная а (косинус угла между d и М) пробегает теперь непрерывный ряд значений в интервале от —1 до +1. Выражение (13,22) отличается от соответствующего члена в магнитном случае лишь заменой В на Е.

Поэтому остаются в силе и все написанные выше кинетические уравнения и следствия из них.

Некоторое отличие возникает, однако, в связи с тем, что электрическое поле Е — истинный (а не псевдо) вектор и что оно не меняется при обращении времени. В силу последнего обстоятельства принцип Онсагера для тензоров теплопроводности и вязкости выразится теперь равенствами

(13,23)

вместо (13,11) и (13,16). Соответственно в выражениях (13,10) и (13,18) (где теперь ) будет . В то же время перекрестные эффекты оказываются возможными не только в газе стереоизомерного вещества (где выражение (13,21) остается в силе целиком), но и в газе из нестереоизомерных молекул: выражение (13,21) с является теперь истинным тензором.