§ 83. Диффузия электронов по ферми-поверхности

В этом параграфе будет показано, каким образом кинетическое уравнение задачи об электрической проводимости при низких температурах (82,17) может быть приведено к диффузионному виду. Интересуясь только этой задачей, мы будем рассматривать лишь независящую от часть функции и обозначать ее как (вместо специального обозначения ) в предыдущем параграфе). Как и в § 82, будем иметь в виду случай открытых ферми-поверхностей.

Функция

есть неравновесная добавка к распределению электронов по импульсному пространству. От него можно перейти к распределению по ферми-поверхности, написав элемент объема в виде проинтегрировав по и приближенно заменив зависящие от элемент площади изоэнергетиче-ской поверхности и скорость v их значениями на ферми-поверхности. Функция по предположению, от не зависит, а интегрирование множителя дает 1.

Таким образом, плотность распределения на ферми-поверхности дается выражением

Для большей наглядности вывода напишем сначала кинетическое уравнение (82,17) с частной производной по времени в его левой стороне, как если бы распределение было нестационарным:

Здесь уже опущен член с выдающий после интегрирования уравнения по

Первый член слева—скорость изменения плотности электронов на ферми-поверхности. Уравнение должно иметь вид уравнения непрерывности, т. е. второй член слева должен представлять собой дивергенцию от плотности потока s электронов на ферми-поверхности; член же с электрическим полем в правой стороне уравнения играет роль плотности источников и стоков. Здесь идет речь о двумерной дивергенции на искривленной поверхности; ее, однако, удобно записать в трехмерных обозначениях:

Здесь — обычный оператор дифференцирования по декартовым координатам в -пространстве, а оператор в фигурных скобках его проекция на плоскость, касательную к ферми-поверхности в каждой заданной ее точке ( — единичный вектор нормали к поверхности). Вектор задан на ферми-поверхности, но в (83,3) рассматривается формально как заданный во всем пространстве (но зависящий лишь от направления ). Кинетическое уравнение (в котором опускаем теперь производную по времени) принимает вид

Задача состоит в нахождении потока — его выражения через функцию

Введем декартову систему координат в -пространстве с осью z по направлению нормали к ферми-поверхности в точке, в которой вычисляется и с началом в этой же точке. По определению, компонента потока есть разность между числом электронов, пересекающих (в 1 с) благодаря столкновениям полосу единичной ширины на плоскости слева направо (в положительном направлении оси ), и числом электронов, пересекающих эту полосу справа налево.

Рассмотрим разность между числом актов испускания фононов с квазиимпульсом к в заданном интервале электронами с квазиимпульсами в интервале и числом обратных актов поглощения таких же фононов. Она дается (с обратным знаком) первым членом подынтегрального выражения в (79,9):

причем Фононная функция здесь должна быть выражена через согласно (82,5):

Если то в результате испускания фонона пройдут через рассматриваемую полосу (причем в направлении слева направо) те электроны, у которых -компонента первоначального квазиимпульса лежит в интервале

(83,7а)

для таких значений выражение (83,5) дает положительный вклад в поток Если же то в результате испускания фонона через полосу пройдут (причем справа налево) электроны с

(83,7б)

соответствующий вклад в отрицателен.

Из сказанного ясно, что для нахождения надо: 1) проинтегрировать выражение (83,5) по единичному интервалу и по всей области изменения ввиду быстрой сходимости, по следнее интегрирование можно распространить от до проинтегрировать по интервалу (83,7) значений Но ввиду медленной зависимости всех величин от вдоль ферми-поверхности, это интегрирование сводится просто к умножению на длину интервала; с учетом знака, с которым результат интегрирования должен войти в это означает просто умножение на наконец, надо проинтегрировать по

Компонента s потока отличается от лишь заменой в подинтегральном выражении на Поэтому поток можно записать в векторном виде:

где - проекция k на касательную плоскость в точке .

Прежде всего пишем и проводим интегрирование по Ввиду малости к можно преобразовать аргумент -функции в (83,8):

(направление совпадает с нормалью к ферми-поверхности). Интегрирование по устраняет -функцию, одновременно заменяя везде на . Но поскольку то можно положить просто , т. е. заменить

Можно провести в общем виде также и интегрирование по поскольку быстро меняющейся функцией в подынтегральном выражении является только разность

интегрирование по превращает этот множитель в . После этих операций выражение (83,8) принимает вид

(83,10)

Для дальнейшего преобразования интеграла пишем в нем, снова используя малость к:

где - единичный вектор касательной к ферми-поверхности в направлении

Поскольку такая же разность содержится и в интеграле (83,6), то можно представить функцию в виде

(83,11)

Наконец, ввиду (79,4) представим w в виде

(83,12)

С этими обозначениями имеем

(83,13)

где — полярный угол направления в касательной плоскости.

Интегрирование по х в (83,13) сводится к вычислению интеграла

ввиду быстрой сходимости, интегрирование можно распространить до . Энергия фонона с малым квазиимпульсом . Поэтому

(значение -функции: )

Таким образом, мы приходим к следующему выражению для плотности потока электронов вдоль ферми-поверхности:

где угловые скобки означают усреднение по направлениям t в касательной плоскости в данной точке ферми-поверхности. Остается получить максимально упрощенное выражение для а. Согласно определению (83,11) имеем из (83,6)

(сокращены общие множители в числителе и знаменателе). Интегрирование по заменяем (ср. начало этого параграфа) интегрированием по

От зависит только множитель одинаковый в обоих интегралах; результаты интегрирования в числителе и знаменателе сокращаются. После этого аргумент -функции пишем в виде (пренебрегая величинами относительного порядка ). Окончательно находим

( - функция точки на ферми-поверхности и направления t; n — единичный вектор нормали). В силу наличия -функций, интегралы фактически берутся лишь вдоль линии на ферми-поверхности, на которой нормаль перпендикулярна направлению t квазиимпульса фонона.

Формулы (83,4) и (83,14-15) решают задачу о приведении кинетического уравнения к диффузионному виду. Это уравнение — интегро-дифференциальное. Плотность потока (83,14) можно записать в виде

(83,16)

где

(83,17)

( — двумерные векторные индексы). Первый член имеет обычный дифференциальный вид с тензором коэффициентов диффузии этот член связан с рассеянием электронов равновесными фононами. Второй же член — интегральный; он связан с эффектом увлечения электронов неравновесными фононами.

Плотность тока вычисляется по функциям как интеграл

Из уравнения (83,4) с s из (83,16-17) ясно, что функция (а с нею и проводимость металла) зависит от температуры как — в согласии с результатом предыдущего параграфа. Обратим внимание на то, что увлечение электронов фононами не меняет этого закона, хотя и отражается на виде кинетического уравнения.