§ 36. Адиабатический захват электронов

Рассмотрим вопрос о распределении электронов плазмы в медленно включаемом потенциальном электрическом поле. Пусть L — порядок величины протяженности поля, а — характерное время его изменения. Будем считать, что

В то же время будем предполагать малым по сравнению со временем свободного пробега электронов, так что речь идет по-прежнему о бесстолкновительной плазме.

В силу условия (36,1) поле можно считать стационарным в течение времени его пролета электроном. С этой же точностью будет стационарной также и функция распределения электронов в поле. Как было указано в конце § 27, решение беестолкновительного кинетического уравнения зависит только от интегралов движения частицы; для стационарного распределения это могут быть только те интегралы, которые не зависят явно от времени.

Мы ограничимся одномерным случаем, когда потенциал поля зависит только от одной координаты Так как движение вдоль осей у и при этом несущественно, речь будет идти о функции распределения только по импульсу (и по координате ).

В одномерном случае уравнение движения имеет два интеграла, из которых не зависит явно от времени (в стационарном поле) всего один — энергия электрона

где

Поэтому стационарная функция распределения будет зависеть от только в комбинации (36,2):

Вид же функции должен определяться граничными условиями.

Пусть поле имеет вид потенциального барьера (рис.11, а). В этом случае функция определяется видом распределения электронов, приходящих к барьеру из бесконечности. Так, если по обе стороны вдали от барьера электроны имеют равновесное (однородное по пространству) распределение с температурой Те, то и во всем пространстве будет иметь место больцмановское распределение:

Рис. 11.

Плотность же электронного газа будет распределена везде по формуле

где — плотность вдали от барьера.

Пусть теперь поле имеет вид потенциальной ямы (рис. 11, б).

В этом случае распределение электронов с положительной энергией снова определится распределением частиц, приходящих из бесконечности; при равновесном распределении на бесконечности распределение электронов с будет больцмановским во всем пространстве. Но помимо частиц с в этом случае существуют также и частицы с энергией эти частицы совершают финитное движение внутри потенциальной ямы они «захвачены». На бесконечности частиц с нет; поэтому изложенные выше соображения, в которых энергия рассматривалась как строго сохраняющаяся величина, недостаточны для нахождения распределения захваченных частиц.

Необходимо учесть также и изменение энергии в не строго стационарном поле, в результате чего это распределение оказывается, вообще говоря, зависящим от предыстории — от хода включения поля (А. В. Гуревич, 1967).

В силу условия (36,1) поле мало меняется за время периода финитного движения захваченных частиц. Как известно, в таком случае сохраняется так называемый адиабатический инвариант — интеграл

взятый между двумя границами движения (при заданных и эта величина и будет играть теперь роль интеграла движения, через который должна выражаться функция распределения захваченных частиц:

(причем энергия в свою очередь предполагается выраженной здесь через согласно (36,2)). Вид же функции (36,7) определяется тем, что при медленном включении поля функция распределения будет непрерывной функцией е. Поэтому при граничном значении энергии захваченных частиц функция должна совпадать с функцией распределения частиц, совершающих над ямой инфинитное движение.

Случай потенциальной ямы вида рис. 10, б, однако, в особенности прост в виду того, что граничная энергия остается (при постепенном включении поля) постоянной, равной нулю. Тогда из указанного граничного условия следует, что сводится просто к постоянной:

где — функция распределения частиц над ямой. Найдем пространственное распределение электронов в этом случае, если - больцмановская функция (36,4).

Суммируя числа электронов с имеем

(множители 2 учитывают частицы с . Подставив сюда из (36,4), получим

где

(36,10)

При разложив подынтегральное выражение в (36,10) по степеням и, имеем

Поэтому распределение электронов, захваченных в неглубокой яме дается формулой

Первый поправочный член совпадает с тем, что получилось бы из формулы Больцмана (36,5). Но уже следующая поправка отличается от больцмановской.

При 1 разность экспоненциально мала Поэтому в случае глубокой ямы в (36,9) существен лишь второй член в фигурных скобках, так что

(36,12)

С увеличением плотность возрастает гораздо медленнее, чем это следовало бы по формуле Больцмана.