§ 15. Явления в сильно разреженных газах

Рассмотренные в предыдущем параграфе явления представляют собой лишь поправочные эффекты, связанные с высшими степенями отношения длины свободного пробега I к характеристическим размерам задачи L; это отношение по-прежнему предполагалось малым. Если же газ настолько разрежен (или размеры L настолько малы), что то гидродинамические уравнения становятся вовсе неприменимыми, даже с исправленными граничными условиями.

В общем случае произвольного 1/L требуется в принципе решать кинетическое уравнение с определенными граничными условиями на соприкасающихся с газом твердых поверхностях. Эти условия определяются взаимодействием молекул газа с поверхностью и связывают функцию распределения частиц, падающих на поверхность, с функцией распределения частиц, покидающих ее. Если это взаимодействие сводится к рассеянию молекул (без их химического превращения, ионизации или поглощения поверхностью), то оно описывается вероятностью до -того, что молекула с заданными значениями Г, столкнувшись с поверхностью, отразится от нее в заданный интервал Г; функция w нормирована условием

С помощью w граничное условие для функции распределения записывается в виде

Интеграл в левой стороне представляет собой число молекул, падающих в 1 с на 1 см2 поверхности и попадающих в результате рассеяния в заданный интервал интегрирование производится по области значений Г, отвечающей молекулам, движущимся по направлению к поверхности ( — единичный вектор внешней нормали к поверхности тела). Выражение же в правой стороне условия (15,2) есть число молекул, покидающих поверхность (за то же время и с той же площади); значения Г в обеих сторонах равенства должны отвечать молекулам, движущимся по направлению от поверхности.

Воравновесии, когда температура газа совпадает с температурой тела, функция распределения как падающих, так и отраженных частиц должна быть больцманорской. Отсюда следует, что функция w должна тождественно удовлетворять равенству

получающемуся подстановкой в где - температура тела.

В описанной общей постановке решение задачи о движении сильно разреженного газа, конечно, весьма затруднительно. Задача может быть поставлена, однако, более простым образом в предельных случаях настолько сильного разрежения газа, что отношение

Большая категория таких задач относится к ситуациам, когда значительная масса газа занимает объем, размеры которого велики как по сравнению с размерами L погруженных в газ твердых тел, так и по сравнению с длиной пробега l. Столкновения молекул с поверхностью тел происходят тогда сравнительно редко и несущественны по сравнению со взаимными столкновениями молекул. Если газ сам по себе находится в равновесии с некоторой температурой то в этих условиях можно считать, что равновесие не нарушается погруженным в него телом. При этом между газом и телом могут существовать произвольные разности температур. То же самое относится и к скоростям макроскопического движения.

Пусть есть разность между температурой газа и температурой некоторого участка поверхности тела, а - скорость движения газа относительно тела. При отличных от нуля и V возникает, во-первых, обмен теплом между газом и телом и, во-вторых, на тело действует со стороны газа некоторая сила. Обозначим плотность диссипативного потока тепла от газа к телу через q. Силу же, действующую в каждой точке поверхности тела по направлению внешней нормали к ней (и отнесенную к единице площади), обозначим как . Здесь второй член есть обычное давление газа, a F — интересующая нас дополнительная сила, связанная с и V. Величины и F являются функциями от и V, обращающимися в нуль вместе с ними.

Если и V достаточно малы (первое — по сравнению с самими температурами газа и тела, а второе по сравнению с тепловой скоростью молекул газа), то можно разложить q и F в ряд по степеням , ограничившись линейными членами. Обозначим посредством компоненты F и V по направлению нормали , а посредством тангенциальные составляющие; последние являются векторами с двумя независимыми компонентами. Тогда указанные разложения будут иметь вид

где - постоянные (вернее, функции температуры и давления), характерные для каждых данных газа и вещества твердого тела.

«Скалярные» величины q и не могут, в силу соображений симметрии, содержать членов, линейных по вектору По такой же причине в разложении вектора отсутствуют члены, линейные по «скалярам» и .

Величины положительны. Так, если температура газа выше температуры тела то тепло будет переходить от газа к телу, т. е. соответствующая часть потока q будет положительна; поэтому Далее, действующие на тело силы обусловленные движением газа относительно тела, должны быть направлены в ту же сторону, куда направлены поэтому должно быть Что касается коэффициентов , то их знак не следует из общих термодинамических соображений (хотя, по-видимому, фактически они, как правило, положительны). Между ними имеется простое соотношение, являющееся следствием принципа симметрии кинетических коэффициентов.

Для вывода этого соотношения вычислим производную по времени от полной энтропии всей системы, состоящей из газа вместе с находящимся в нем телом. В единицу времени тело получает от газа через каждый элемент поверхности количество тепла При этом энтропия тела испытывает приращение:

где интегрирование производится по всей поверхности тела.

Для вычисления увеличения энтропии газа выбираем такую систему координат, в которой газ (в месте нахождения тела) покоится; в этой системе скорость каждой точки поверхности тела есть — V. Для целей доказательства искомого соотношения будем считать, что форма тела может меняться при его движении; тогда скорости V различных точек его поверхности будут являться произвольными независимыми переменными величинами. Согласно термодинамическому соотношению изменение энтропии газа в единицу времени равно

(величины с индексом 2 относятся к газу). Производная равна, в силу сохранения полной энергии системы, взятому с обратным знаком изменению энергии тела.

Последнее складывается из количества тепла и произведенной над телом работы, равной интегралу Отсюда находим для изменения энергии газа:

Что касается изменения объема газа, то оно равно взятому с обратным знаком изменению объема тела:

Таким образом, имеем для изменения энтропии газа:

Складывая производные от и и полагая затем (при малых ) получаем окончательно для скорости изменения полной энтропии системы:

Выберем в качестве величин в общей формулировке принципа Онсагера (§ 9) соответственно и две компоненты вектора (в каждой заданной точке поверхности тела). Для выяснения смысла соответствующих величин сравним формулу (15,5) с общим выражением скорости изменения энтропии (9,3). Мы увидим тогда, что величинами будут соответственно и две компоненты вектора в той же точке. Кинетические же коэффициенты (коэффициенты в соотношениях (9,1)):

Из симметрии следует, таким образом, искомое соотношение

Отметим также, что из условия положительности квадратичной формы (9,3) (S > 0) следуют уже упомянутые неравенства и дополнительно еще и неравенство

Вычисление коэффициентов в (15,4) требует знания конкретного закона рассеяния молекул газа от поверхности тела, выражаемого введенной выше функцией . для примера Получим формулу, позволяющую в принципе вычислить величину а.

Плотность потока энергии от газа к телу выражается интегралом

(взятым по области при каждом столкновении молекулы со стенкой последней передается энергия

Преобразуем это выражение с помощью принципа детального равновесия, согласно которому в состоянии равновесия число переходов при рассеянии молекул от стенки равно числу переходов Это значит, что

(в равновесии температура газа совпадает с температурой стенки).

Произведем в (15,7) переобозначение переменных интегрирования Взяв полусумму обоих получающихся выражений, напишем

Наконец, подставив сюда из (15,8) и разложив затем подынтегральное выражение по степеням малой разности найдем, что , где

(индекс у температуры опущен).

Функция распределения молекул, рассеянных от стенки, зависит от конкретного характера их взаимодействия со стенкой. Говорят, что имеет место полная аккомодация, если молекулы, отраженные от каждого элемента поверхности тела, имеют (независимо от величины и направления их скорости до столкновения) такое же распределение, какое имели бы молекулы в пучке, выходящем из маленького отверстия в сосуде с газом с температурой, равной температуре тела. Другими словами, при полной аккомодации рассеиваемый от стенки газ приходит в тепловое равновесие с нею. Величину коэффициентов в (15,4) имеет смысл сравнивать именно с их значениями при полной аккомодации. В частности, обмен энергией между молекулами газа и твердой стенкой обычно характеризуют коэффициентом аккомодации, определяемым как отношение (где отвечает полной аккомодации).

В реальных случаях полная аккомодация, вообще говоря, не достигается и коэффициент аккомодации меньше единицы.

В том, что значение действительно является наибольшим возможным, легко убедиться с помощью следующих соображений. Рассмотрим энтропию S в (15,5) с несколько иной точки зрения: не как полную энтропию тела и газа в целом, а как энтропию тела и лишь той совокупности молекул газа, которые за время падают на поверхность тела. Для этой системы отражение молекул с полной аккомодацией означает переход в состояние полного равновесия, так что ее энтропия принимает максимально возможное значение. Соответственно будет максимально возможным и изменение энтропии, сопровождающее этот переход. Другими словами, при полной аккомодации квадратичная форма (9,3) должна быть максимальна при любых заданных значениях величин Отмечая соответствующие значения коэффициентов индексом нуль, запишем это условие в виде

Отсюда следуют неравенства

(15,10)

Рассмотрим вытекание сильно разреженного газа из маленького отверстия (с линейными размерами L). В предельном случае этот процесс приобретает весьма простой характер. Молекулы будут покидать сосуд независимо одна от другой, образуя молекулярный пучок, в котором каждая молекула движется с той скоростью, с которой она подошла к отверстию. Число молекул, выходящих в 1 с из отверстия, совпадает с числом столкновений, которые испытали бы за это время молекулы газа с площадью поверхности, равной площади отверстия s. Число столкновений, отнесенное к единице площади стенки, есть где Р — давление газа, - масса молекулы (см. V, § 39). Таким образом, для количества (массы) вытекающего в 1 с газа находим

Если два сосуда с газом соединены друг с другом отверстием, то в случае при механическом равновесии давления газов в обоих сосудах будут одинаковыми, вне зависимости от значений их температур . Если же , то условием механического равновесия будет являться равенство чисел молекул, переходящих через отверстие из одного сосуда в другой и обратно. Согласно (15,11) это приводит к равенству

Таким образом, давления разреженных газов в двух сообщающихся сосудах будут различными, причем они относятся друг к другу как корни из температур (эффект Кнудсена).

До сих пор речь шла о явлениях в значительной массе сильно разреженного газа, находящегося самом по себе в равновесии. Остановимся коротко на явлениях другого характера, в которых и сам газ не находится в равновесном состоянии. Такова, например, передача тепла между двумя твердыми пластинками, нагретыми до различных температур и погруженными в разреженный газ, причем расстояние между ними мало по сравнению с длиной свободного пробега. Молекулы, движущиеся в пространстве между пластинками, практически не испытывают столкновений друг с другом и, отражаясь от одной пластинки, свободно движутся до столкновения с другой. При рассеянии от более нагретой пластинки молекулы приобретают от нее некоторую энергию, а затем при столкновении с менее нагретой отдают ей часть своей энергии. Механизм теплопередачи в этом случае существенно отличается, таким образом, от механизма обычной теплопроводности в неразреженном газе. Его можно характеризовать коэффициентом теплопередачи определенным (по аналогии с обычным коэффициентом теплопроводности) так, чтобы было

где q — передаваемое количество тепла (отнесенное к единице площади пластинок в единицу времени), и - температуры пластинок, a L — расстояние между ними. Коэффициент можно оценить по порядку величины с помощью формулы (7,10). Поскольку вместо столкновений молекул друг с другом мы имеем теперь дело с непосредственными столкновениями с пластинками, то вместо длины свободного пробега l надо подставить расстояние L между пластинками. Таким образом, имеем

(15,14)

Коэффициент теплопередачи в сильно разреженном газе пропорционален давлению в противоположность теплопроводности неразреженного газа, независящей от давления. Подчеркнем, впрочем, что теперь х не является характеристикой лишь самого газа: он зависит также и от конкретных условий задачи (от расстояния L между пластинками).

Аналогичное явление представляет собой «вязкость» сильно разреженного газа, проявляющаяся, например, при относительном движении двух находящихся в нем пластинок (причем опять ). Коэффициент вязкости надо определить теперь так, чтобы было

(15,15)

где - сила трения, испытываемая движущейся пластинкой (отнесенная к единице ее площади), а - скорость движения одной пластинки относительно другой. Написав в (8,11) расстояние L вместо длины пробега получим

(15,16)

т. е. вязкость разреженного газа тоже пропорциональна давлению.