§ 63. Усиление и непропускание

До сих пор мы рассматривали задачи об устойчивости, в которых речь шла о развитии во времени возмущения, заданного в пространстве в некоторый начальный момент. Фурье-разложение такого возмущения содержит компоненты с вещественными значениями волновых векторов к, а их временная зависимость определяется частотами -комплексными корнями дисперсионного уравнения.

Возможна, однако, и другая постановка задачи об устойчивости: задача, в которой речь идет о возмущении, создаваемом в некотором участке пространства по заданному временному закону. Фурье-разложение такого возмущения содержит компоненты с вещественными частотами , а их распространение в пространстве определяется волновыми векторами , получающимися решением дисперсионного уравнения — на этот раз относительно соответственно комплексными оказываются не частоты, а волновые векторы (как и в предыдущем параграфе, мы имеем в виду одномерную задачу и потому пишем вместо вектора k).

Комплексность волновых векторов может иметь различный смысл. В одних случаях она может означать просто, что соответствующие волны не могут распространяться в среде (непропускание). В других случаях комплексность k может означать усиление волн средой при их распространении от источника. Сразу же подчеркнем, что критерием различения этих двух возможностей заведомо не может являться знак волны могут распространяться в обоих направлениях оси а изменение направления распространения эквивалентно изменению знака .

Физически очевидно, что усиливающими свойствами может обладать лишь неустойчивая среда.

Поэтому, например, заранее ясно, что для поперечных электромагнитных волн в плазме с законом дисперсии (см. задачу 1 § 32) при частотах (когда ) мнимо) имеет место непропускание; действительно, определяемая этим уравнением функция вещественна при всех вещественных значениях k, так что система заведомо устойчива.

Для точной постановки вопроса рассмотрим точечный по координате источник (или, как говорят, сигнал), включаемый в момент и создающий затем монохроматическое (с некоторой частотой ) возмущение (отклик системы на сигнал). Интенсивность источника есть, таким образом,

Не конкретизируя физической природы возмущения мы не делаем того же и в отношении физической природы интенсивности источника g. Существенно лишь, что -компоненты возмущения определяются по его источнику выражением вида

(63,2)

Такое выражение получается из неоднородного линеаризованного «уравнения движения» системы, в котором играет роль «правой части» (аналогично тому, как (62,4) было решением однородного уравнения с начальным условием, задаваемым функцией . Для источника (63,1) имеем

Функция находится затем по формуле обращения

(63,4)

Это выражение автоматически обеспечивает равенство при в соответствии с условиями задачи: возмущение возникает только от включаемого в момент источника.

Задача состоит теперь в том, чтобы найти асимптотическое выражение вдали от источника в установившемся режиме, т. е. по истечении большого времени после включения источника

Если в таком режиме возмущение стремится к нулю при то мы имеем дело с непропусканием. Если же возмущение оказывается возрастающим хотя бы по одну сторону от источника—имеет место усиление. Очевидно, что в обоих этих случаях может идти речь лишь о конвективно-неустойчивой (или об устойчивой) системе. При абсолютной неустойчивости возмущение неограниченно растет со временем во всех точках пространства, так что выход на установившийся режим вообще невозможен.

Переходя к отысканию требуемой асимптотики, прежде всего отметим, что асимптотический переход надо произвести до перехода поскольку за конечное время возмущение не может распространиться до бесконечности, то переход при конечном t обратит в нуль.

Как и в § 62, для получения асимптотического выражения при смещаем путь интегрирования по в (63,4) вниз. Аналитические свойства функции такие же, как и у функции в § 62. Поскольку система предполагается лишь конвективно-неустойчивой, то не имеет особенностей в верхней полуплоскости и наиболее высокой особой точкой подынтегрального выражения в (63,4) является полюс на вещественной оси. Поэтому асимптотика при

Для нахождения асимптотики функции при надо теперь смещать путь интегрирования по k вверх (при или вниз (при до тех пор, пока он не зацепится за полюс подынтегрального выражения в (63,5) (корень уравнения ).

Обозначим посредством те полюсы, которые при находятся соответственно в верхней и нижней полуплоскостях k. По мере уменьшения полюсы перемещаются и при вещественном могут остаться в «своей» полуплоскости или же попасть в другую полуплоскость. В первом случае путь интегрирования в остается на вещественной оси (как на рис. 22, а), а во втором — деформируется, как показано на рис. 22, б, огибая «убежавшие» в чужую полуплоскость полюсы (точки А и С). В обоих случаях при смещении контура вверх или вниз он зацепляется соответственно за полюсы или Асимптотическое выражение функции при определяется вкладом от наиболее низкого из полюсов а при наиболее высокого из полюсов другими словами, это — наиболее близкий к вещественной оси полюс (если все полюсы данной категории остались в «своей» полуплоскости) или же наиболее далекий от вещественной оси полюс из числа тех, которые перешли в «чужую» полуплоскость.

С этими значениями и будем иметь

В случае устойчивой системы все полюсы остаются при в «своих» полуплоскостях; действительно, ввиду отсутствия ветвей колебаний с (при вещественных k) пересечение полюсом вещественной оси могло бы иметь место лишь при . Поэтому в (63,7) будет

так что волны затухают в обе стороны от источника.

В случае же конвективной неустойчивости полюсы выходят на вещественную ось уже при Поэтому заведомо существуют полюсы или попавшие при в «чужую» полуплоскость, т. е. для которых или . Наличие такого полюса приводит к усилению олны справа от источника, а наличие такого полюса к усилению слева от источника.

Резюмируя изложенные рассуждения, приходим к следующему критерию различения случаев непропускания и усиления волн, испускаемых источником с частотой в конвективно-неустойчивой системе.

Волна с комплексным значением при вещественном усиливается, если функция меняет знак при изменении от до 0 (при заданном ); если же не меняет знака, то имеет место непропускание.

Отметим, что происхождение этого критерия связано с требованиями причинности. Действительно, при сколь угодно быстром включении источника возмущение во всяком случае должно убывать при просто потому, что за конечное время оно не может распространиться на бесконечное расстояние. С другой стороны, «сколь угодно быстрое» включение можно осуществить по закону Поэтому ясно, что волны, усиливаемые (при вещественном со) в ту или иную сторону от источника, должны затухать в эту же сторону при откуда и возникает сформулированный выше критерий.

Полученные результаты имеют еще и другой аспект, позволяя определить направление распространения волны в среде с поглощением или усилением. В прозрачной среде (т. е. когда и k вещественны) вопрос о физическом направлении распространения решается направлением вектора групповой скорости. В частности, в одномерном случае волна с положительным значением производной движется в положительном направлении оси , а с отрицательным в обратном направлении. В среде же с поглощением или усилением можно утверждать, что в положительном направлении распространяются волны группы а в отрицательном — группы .

В случае вещественных эта общая формулировка совпадает с прежней. Действительно, малые изменения и k связаны друг с другом соотношением

Отсюда видно, что если у появляется мнимая часть то k смещается в верхнюю полуплоскость при и в нижнюю в обратном случае.

В качестве простого примера применения критериев, полученных в этом и предыдущем параграфах, рассмотрим неустойчивость холодного пучка электронов в холодной плазме, о которой шла речь в § 61. Дисперсионное уравнение этой системы:

(см. (61,6); для волн, распространяющихся в направлении пучка, Корни этого уравнения при имеют вид

При оба корня лежат в одной и той же (верхней) полуплоскости, т. е. оба корня относятся к категории . Они не могут, следовательно, при своем перемещении (при уменьшении зажать - контур, так что неустойчивость — конвективная. Асимптотическое поведение созданного в начальный момент возмущения определяется частотой вблизи которой корни уравнения (63,8) стремятся к по закону

Таким образом, при от возмущения остаются лишь незатухающие плазменные волны.

При вещественных значениях уравнение (63,8) имеет два комплексно-сопряженных корня . Тот из них, у которого попал в нижнюю полуплоскость из верхней. Таким образом, при распространении волн от источника с частотой происходит их усиление в направлении т. е. «вниз по течению» пучка.