Главная > Теоретическая физика. Т. X. Физическая кинетика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 63. Усиление и непропускание

До сих пор мы рассматривали задачи об устойчивости, в которых речь шла о развитии во времени возмущения, заданного в пространстве в некоторый начальный момент. Фурье-разложение такого возмущения содержит компоненты с вещественными значениями волновых векторов к, а их временная зависимость определяется частотами -комплексными корнями дисперсионного уравнения.

Возможна, однако, и другая постановка задачи об устойчивости: задача, в которой речь идет о возмущении, создаваемом в некотором участке пространства по заданному временному закону. Фурье-разложение такого возмущения содержит компоненты с вещественными частотами , а их распространение в пространстве определяется волновыми векторами , получающимися решением дисперсионного уравнения — на этот раз относительно соответственно комплексными оказываются не частоты, а волновые векторы (как и в предыдущем параграфе, мы имеем в виду одномерную задачу и потому пишем вместо вектора k).

Комплексность волновых векторов может иметь различный смысл. В одних случаях она может означать просто, что соответствующие волны не могут распространяться в среде (непропускание). В других случаях комплексность k может означать усиление волн средой при их распространении от источника. Сразу же подчеркнем, что критерием различения этих двух возможностей заведомо не может являться знак волны могут распространяться в обоих направлениях оси а изменение направления распространения эквивалентно изменению знака .

Физически очевидно, что усиливающими свойствами может обладать лишь неустойчивая среда.

Поэтому, например, заранее ясно, что для поперечных электромагнитных волн в плазме с законом дисперсии (см. задачу 1 § 32) при частотах (когда ) мнимо) имеет место непропускание; действительно, определяемая этим уравнением функция вещественна при всех вещественных значениях k, так что система заведомо устойчива.

Для точной постановки вопроса рассмотрим точечный по координате источник (или, как говорят, сигнал), включаемый в момент и создающий затем монохроматическое (с некоторой частотой ) возмущение (отклик системы на сигнал). Интенсивность источника есть, таким образом,

Не конкретизируя физической природы возмущения мы не делаем того же и в отношении физической природы интенсивности источника g. Существенно лишь, что -компоненты возмущения определяются по его источнику выражением вида

(63,2)

Такое выражение получается из неоднородного линеаризованного «уравнения движения» системы, в котором играет роль «правой части» (аналогично тому, как (62,4) было решением однородного уравнения с начальным условием, задаваемым функцией . Для источника (63,1) имеем

Функция находится затем по формуле обращения

(63,4)

Это выражение автоматически обеспечивает равенство при в соответствии с условиями задачи: возмущение возникает только от включаемого в момент источника.

Задача состоит теперь в том, чтобы найти асимптотическое выражение вдали от источника в установившемся режиме, т. е. по истечении большого времени после включения источника

Если в таком режиме возмущение стремится к нулю при то мы имеем дело с непропусканием. Если же возмущение оказывается возрастающим хотя бы по одну сторону от источника—имеет место усиление. Очевидно, что в обоих этих случаях может идти речь лишь о конвективно-неустойчивой (или об устойчивой) системе. При абсолютной неустойчивости возмущение неограниченно растет со временем во всех точках пространства, так что выход на установившийся режим вообще невозможен.

Переходя к отысканию требуемой асимптотики, прежде всего отметим, что асимптотический переход надо произвести до перехода поскольку за конечное время возмущение не может распространиться до бесконечности, то переход при конечном t обратит в нуль.

Как и в § 62, для получения асимптотического выражения при смещаем путь интегрирования по в (63,4) вниз. Аналитические свойства функции такие же, как и у функции в § 62. Поскольку система предполагается лишь конвективно-неустойчивой, то не имеет особенностей в верхней полуплоскости и наиболее высокой особой точкой подынтегрального выражения в (63,4) является полюс на вещественной оси. Поэтому асимптотика при

Для нахождения асимптотики функции при надо теперь смещать путь интегрирования по k вверх (при или вниз (при до тех пор, пока он не зацепится за полюс подынтегрального выражения в (63,5) (корень уравнения ).

Обозначим посредством те полюсы, которые при находятся соответственно в верхней и нижней полуплоскостях k. По мере уменьшения полюсы перемещаются и при вещественном могут остаться в «своей» полуплоскости или же попасть в другую полуплоскость. В первом случае путь интегрирования в остается на вещественной оси (как на рис. 22, а), а во втором — деформируется, как показано на рис. 22, б, огибая «убежавшие» в чужую полуплоскость полюсы (точки А и С). В обоих случаях при смещении контура вверх или вниз он зацепляется соответственно за полюсы или Асимптотическое выражение функции при определяется вкладом от наиболее низкого из полюсов а при наиболее высокого из полюсов другими словами, это — наиболее близкий к вещественной оси полюс (если все полюсы данной категории остались в «своей» полуплоскости) или же наиболее далекий от вещественной оси полюс из числа тех, которые перешли в «чужую» полуплоскость.

С этими значениями и будем иметь

В случае устойчивой системы все полюсы остаются при в «своих» полуплоскостях; действительно, ввиду отсутствия ветвей колебаний с (при вещественных k) пересечение полюсом вещественной оси могло бы иметь место лишь при . Поэтому в (63,7) будет

так что волны затухают в обе стороны от источника.

В случае же конвективной неустойчивости полюсы выходят на вещественную ось уже при Поэтому заведомо существуют полюсы или попавшие при в «чужую» полуплоскость, т. е. для которых или . Наличие такого полюса приводит к усилению олны справа от источника, а наличие такого полюса к усилению слева от источника.

Резюмируя изложенные рассуждения, приходим к следующему критерию различения случаев непропускания и усиления волн, испускаемых источником с частотой в конвективно-неустойчивой системе.

Волна с комплексным значением при вещественном усиливается, если функция меняет знак при изменении от до 0 (при заданном ); если же не меняет знака, то имеет место непропускание.

Отметим, что происхождение этого критерия связано с требованиями причинности. Действительно, при сколь угодно быстром включении источника возмущение во всяком случае должно убывать при просто потому, что за конечное время оно не может распространиться на бесконечное расстояние. С другой стороны, «сколь угодно быстрое» включение можно осуществить по закону Поэтому ясно, что волны, усиливаемые (при вещественном со) в ту или иную сторону от источника, должны затухать в эту же сторону при откуда и возникает сформулированный выше критерий.

Полученные результаты имеют еще и другой аспект, позволяя определить направление распространения волны в среде с поглощением или усилением. В прозрачной среде (т. е. когда и k вещественны) вопрос о физическом направлении распространения решается направлением вектора групповой скорости. В частности, в одномерном случае волна с положительным значением производной движется в положительном направлении оси , а с отрицательным в обратном направлении. В среде же с поглощением или усилением можно утверждать, что в положительном направлении распространяются волны группы а в отрицательном — группы .

В случае вещественных эта общая формулировка совпадает с прежней. Действительно, малые изменения и k связаны друг с другом соотношением

Отсюда видно, что если у появляется мнимая часть то k смещается в верхнюю полуплоскость при и в нижнюю в обратном случае.

В качестве простого примера применения критериев, полученных в этом и предыдущем параграфах, рассмотрим неустойчивость холодного пучка электронов в холодной плазме, о которой шла речь в § 61. Дисперсионное уравнение этой системы:

(см. (61,6); для волн, распространяющихся в направлении пучка, Корни этого уравнения при имеют вид

При оба корня лежат в одной и той же (верхней) полуплоскости, т. е. оба корня относятся к категории . Они не могут, следовательно, при своем перемещении (при уменьшении зажать - контур, так что неустойчивость — конвективная. Асимптотическое поведение созданного в начальный момент возмущения определяется частотой вблизи которой корни уравнения (63,8) стремятся к по закону

Таким образом, при от возмущения остаются лишь незатухающие плазменные волны.

При вещественных значениях уравнение (63,8) имеет два комплексно-сопряженных корня . Тот из них, у которого попал в нижнюю полуплоскость из верхней. Таким образом, при распространении волн от источника с частотой происходит их усиление в направлении т. е. «вниз по течению» пучка.

1
Оглавление
email@scask.ru