§ 29. Диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы

В общем случае произвольных значений к, когда существенную роль играет пространственная дисперсия, вычисление проницаемости требует применения кинетического уравнения. Сделаем это, предполагая, что в диэлектрической поляризации плазмы участвуют только электроны, а движение ионов несущественно (в таких случаях говорят об электронной плазме), к условию допустимости такого предположения и к обобщению результатов мы вернемся в § 31.

Для слабого поля ищем функцию распределения электронов в виде где — невозмущенная полем стационарная изотропная и пространственно-однородная функция распределения, а изменение под влиянием поля. Пренебрегая в кинетическом уравнении членами второго порядка малости, получим

В изотропной плазме функция распределения зависит только от абсолютной величины импульса. Для такой функции направление вектора совпадает с направлением и его произведение с обращается в нуль. Таким образом, в линейном приближении магнитное поле не влияет на функцию распределения. Для остается уравнение

Вместе с полем Е функция предполагается пропорциональной . Тогда из (29,1) находим

Условие малости поля возникает из требования, чтобы было мало по сравнению с Коэффициент при в (29,2) есть амплитуда импульса, приобретаемого электроном в поле Е. Эта амплитуда должна быть мала по сравнению со средним (определенным по распределению ) импульсом то.

В невозмущенной плазме плотность зарядов электронов/компенсируется в каждой точке зарядами ионов, а плотность тока равна нулю тождественно ввиду изотропии плазмы. Плотность же зарядов и плотность тока, возникающие в плазме при ее возмущении полем,

Вместе с эти величины пропорциональны и согласно (28,1) их связь с диэлектрической поляризацией дается формулами

Способ взятия интегралов в (29,3) требует, однако, уточнения ввиду наличия у функции полюса при

Чтобы придать интегралу смысл, будем вместо строго гармонического ( ) рассматривать поле, которое бесконечно медленно включается от времени Такому описанию поля соответствует добавление к его частоте бесконечно малой положительной мнимой части, т. е. замена , где Действительно, при этом будет при вызываемое же множителем неограниченное возрастание поля при несущественно, так как в силу принципа причинности не может оказать влияния на явления, рассматриваемые при конечных временах t (между тем как с поле оказалось бы большим в прошлом, что нарушило бы применимость линейного по полю приближения). Таким образом, правило обхода полюсов (29,5) определяется заменой

оно было впервые установлено Л. Д. Ландау (1946).

К обоснованию правила (29,6) можно подойти также с другой точки зрения, путем введения в кинетическое уравнение бесконечно малого интеграла столкновений, представленного в виде . Добавление такого члена в правую сторону уравнения (29,1) эквивалентно замене в члене устремляя затем получим снова правило (29,6).

При интегрированиях с правилом обхода (29,6) мы имеем дело с интегралами вида

В таком интеграле путь интегрирования в плоскости комплексной переменной проходит под точкой при это эквивалентно интегрированию вдоль вещественной оси с обходом полюса по бесконечно малой полуокружности снизу. Вклад в интеграл от этого обхода определяется полувычетом подынтегрального выражения, и в результате получим

где перечеркнутый знак интеграла означает, что интеграл берется в смысле главного значения.

Эту формулу можно записать и в символическом виде

где символ Р означает взятие (при дальнейших интегрированиях) главного значения.

Вычислим продольную часть диэлектрической проницаемости плазмы. Воспользуемся для этого первым из соотношений (29,4), подставив в него из (29,3) и (29,2):

Пусть поле Е (а с ним и Р) направлено вдоль к; тогда Мы приходим, таким образом, к следующей формуле для продольной проницаемости плазмы с произвольной стационарной функцией распределения (индекс 0 у которой ниже опускаем):

Выберем направление к в качестве оси . В подынтегральном выражении в (29,9) от зависит лишь Поэтому формулу (29,9) можно переписать в другом виде, введя функцию распределения только по

Тогда

(29,10)

В изотропной плазме — четная функция

Сразу же отметим важный результат: диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы оказывается комплексной величиной; мнимая часть интеграла (29,10) определяется формулой (29,7). К обсуждению этого важного результата мы возвратимся в следующем параграфе, а здесь рассмотрим аналитические свойства функции частоты со, определяемой интегралом (29,10). Уже из общих свойств диэлектрической проницаемости известно, что эта функция может иметь особые точки только в нижней полуплоскости комплексной переменной со (см. VIII, § 62); это является следствием уже самого определения (28,5). Полезно, однако, проследить за тем, как это видно непосредственно из формулы (29,10), и выяснить связь между этими особыми точками и свойствами функции распределения

Изменив обозначение переменной интегрирования, напишем интеграл в (29,10) в виде

Интегрирование производится в плоскости комплексной переменной вдоль вещественной оси, с обходом точки снизу (рис. 7, а). Тем самым интеграл (29,11) определяет аналитическую функцию и во всей верхней полуплоскости : для всех таких значений полюс обходится, как и следовало, снизу. При аналитическом же продолжении этой функции в нижнюю полуплоскость необходимость обхода полюса снизу требует каждый раз соответствующего смещения пути интегрирования (рис. 7, б). Но функция регулярная при вещественных z, имеет, вообще говоря, особые точки при комплексных значениях z (назовем их ), в том числе в нижней полуплоскости . Увод пути интегрирования С от полюса оказывается невозможным, когда этот полюс сближается с какой-либо из особых точек и контур С оказывается зажатым между этими двумя точками. Таким образом, функция (29,11) имеет особые точки в нижней полуплоскости со при значениях , совпадающих с особыми точками функции .

Рис. 7.