Главная > Теоретическая физика. Т. X. Физическая кинетика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 72. Поглощение звука в диэлектрике.

Длинные волны

Характер поглощения звука в диэлектрическом кристалле существенно зависит от соотношения цежду длиной волны и длиной свободного пробега I тепловых фононов. Если длина волны велика по сравнению с где - волновой вектор звуковой волны), то применима макроскопическая теория, основанная на уравнениях теории упругости (см. VII, § 35). Согласно этой теории, коэффициент поглощения звука складывается из двух членов, определяющихся соответственно теплопроводностью и вязкостью среды. Оба члена пропорциональны квадрату частоты. Наша цель состоит здесь в определении их температурной зависимости.

Теплопроводностный вклад в коэффициент поглощения звука выражается, по порядку величины, формулой

(72,1)

где а — коэффициент теплового расширения тела, С — теплоемкость единицы объема, — плотность. При высоких температурах, теплопроводность , а С и от температуры не зависят (см. V, §§ 65, 67). Поэтому в этой области не зависит от температуры. При низких же температурах температурная зависимость в основном определяется (в идеальной решетке) экспоненциально возрастающей, при уменьшении Т, теплопроводностью.

Обратимся к определению вязкостной части коэффициента поглощения звука (Л. И. Ахиезер, 1938).

Производя макроскопическую деформацию кристаллической решетки, внешнее звуковое поле меняет закон дисперсии фононов. Длина волны тепловых фононов мала по сравнению с длиной волны звука; поэтому по отношению к тепловому фонону деформацию можно считать однородной, т. е. считать фонон находящимся в решетке, по-прежнему регулярной, но с несколько измененными периодами.

В первом приближении по малой деформации частота и фонона в такой решетке связана с его частотой в недеформированной решетке формулой вида

где

тензор деформации (U — вектор смещения). Характеризующий кристалл тензор зависит, вообще говоря, от к; для длинноволновых акустических фононов с линейным законом дисперсии он не зависит, однако, от абсолютной величины к.

В скобках в (72,2) должен был бы стоять еще и член вида выражающий собой тривиальное обстоятельство: если деформация приводит к повороту элемента объема решетки; то меняется направление осей (обратной решетки), относительно которых должен определяться квазиимпульс фонона в законе дисперсии; член выражал бы соответствующий пересчет к. Мы не пишем этот член в (72,2), так как заранее очевидно, что он не может отразиться на интересующей нас диссипации энергии в звуковой волне: реальный физический эффект — диссипация не может зависеть от вектора отличного от нуля уже для простого поворота тела как целого.

Изменение функции распределения фононов, вызванное деформацией решетки, определяется кинетическим уравнением

где - интеграл фонон-фононных столкновений (67,6), а Т — скорость изменения температуры в данной точке кристалла, неизбежно связанная с деформацией. Обычным образом, линеаризуя это уравнение и введя функцию согласно определению (67,15), сведем его к виду

где ( - линеаризованный интеграл столкновений (67,17). В левой части производная со выражена с помощью (72,2); индекс (0) у невозмущенной частоты здесь и ниже опускаем.

Производную Т можно в принципе выразить с помощью того же тензора . После умножения обеих сторон уравнения (72,4) на , интегрирования по -пространству и суммирования по всем ветвям спектра фононов правая сторона уравнения обращается в нуль — в силу сохранения энергии при столкновениях. Левая же сторона уравнения дает

где - усредненный по тензор .

В обоих предельных случаях высоких и низких температур не зависит от температуры. Действительно, при в усреднении существенны фононы с независящим от температуры квазиимпульсом При существенны длинноволновые акустические фононы, для которых не зависит от k, и потому усреднение тоже не вносит зависимости от температуры.

Обозначив запишем кинетическое уравнение в виде

Далее, выведем формулу, определяющую диссипацию энергии в неравновесном фононном газе. Для этого исходим из выражения энтропии единицы объема бозе-газа

(см. V, § 55). Продифференцировав это выражение по времени, находим

Заменив здесь N интегралом (ср. § 4) и произведя определенные переобозначения переменных к, к, в двух членах выражения (67,6), приведем S к виду

Умножив это выражение на Т, получим диссипативную функцию энергию, диссипируемую в единицу времени в единице объема. Подставив сюда представленным в виде (67,15)) и ограничиваясь первыми, квадратичными, членами разложения по получим

Написанных формул достаточно для определения температурной зависимости коэффициента поглощения звука. Рассмотрим сначала область высоких температур.

В этом случае интеграл столкновений содержит температуру в виде множителя (см. начало § 68). В левой же стороне кинетического уравнения (72,6) имеем причем для наем ой массы фононов частота не зависит от температуры. Таким образом, найдем, что для этих частот

Из выражения (72,9), в котором надо положить найдем теперь, что диссипативная функция не зависит от температуры. То же самое относится и к коэффициенту поглощения, получающемуся делением диссипативной функции на независящую от температуры величину — плотность потока энергии в звуковой волне. Таким образом, при вязкостная, как и теплопроводная части коэффициента поглощения звука не зависят от температуры.

Для низких температур необходимо прежде всего подчеркнуть принципиальное отличие от задачи о теплопроводности: конечное значение коэффициента поглощения звука получается уже в пренебрежении процессами переброса (частота которых при низких температурах мала). Напомним, что в случае теплопроводности отсутствие решения у кинетического уравнения без учета процессов переброса проявлялось в противоречии, возникающем при умножении этого уравнения на к и интегрировании по всему фонониому спектру: правая сторона уравнения обращается в нуль, между тем как левая сторона заведомо отлична от нуля . Для уравнения же (72,6) такого противоречия не возникает: поскольку его левая часть — четная функция к, то после умножения на к она становится нечетной функцией и интегрирование по обращает ее в нуль. При этом подразумевается, что обращается в нуль также и интеграл от члена с оператором процессов переброса — интеграл от Поскольку это не происходит автоматически в силу какого-либо закона сохранения, то тем самым налагается определенное условие на решение кинетического уравнения — функция должна быть четной по к (тогда — нечетная функция; легко видеть, что оператор не меняет четности функции Этим требованием устраняется произвол, связанный с существованием (в отсутствие процессов переброса) нечетного по к «паразитного» решения вида и обеспечивается правильный предельный переход к отсутствию этих процессов.

При основную роль в интеграле столкновений (и в диссипативной функции) играют фононы с энергией Это длинноволновые фононы акустических ветвей спектра; их частоты линейно зависят от к, а потому их Согласно (66,14), для столкновений таких фононов функция w в интеграле (67,17):

Функция распределения зависйт только от отношения так что при имеем Интегрирование производится по причем по по области Каждый множитель вносит, следовательно, в интеграл но множителю Т, а - функция — множитель Таким образом, найдем, что весь интеграл в смысле своей зависимости от температуры оценивается как Левая же сторона кинетического уравнения (72,6) при от температуры не зависит. Отсюда находим, что для

После этого аналогичная оценка интеграл (72,9) приводит к результату, что диссипативная функция, а с нею и вязкостная часть коэффициента поглощения звука обратно пропорциональны Т. Таким образом,

Отсутствие необходимости в процессах переброса приводит к тому, что эта часть коэффициента поглощения возрастает с понижением температуры лишь по степенному, а не по экспоненциальному закону.

Использование в изложенном выводе диссипативной функции позволило избежать вопроса о выражении тензора вязких напряжений в кристалле через функцию распределения фононов; нетривиальность этого вопроса связана с тем, что речь идет о тензоре плотности потока истинного импульса, отнюдь не совпадающего с квазиимпульсом фононов. Покажем, каким образом это выражение можно в свою очередь получить из вида диссипативной функции.

Для этого снова исходим из интеграла (72,8), представив в нем на этот раз производную N в виде выражения, стоящего в левой стороне кинетического уравнения (72,6). Логарифм же в подынтегральном выражении переписываем в виде (см. (67,16))

В результате находим

где (член же с множителем вместо тождественно обращается в нуль в силу определения ). Вместо здесь можно писать просто так как интеграл с постоянным множителем обращается в нуль в силу налагаемого на дополнительного условия (67,14).

С другой стороны, диссипативная функция (отнесенная к единице объема) выражается через тензор вязких напряжений как — (ср. VII, § 34). Сравнение с (72,11) приводит, таким образом, к следующему выражению для тензора вязких напряжений:

(В. Л. Гуревич).

1
Оглавление
email@scask.ru