§ 72. Поглощение звука в диэлектрике.

Длинные волны

Характер поглощения звука в диэлектрическом кристалле существенно зависит от соотношения цежду длиной волны и длиной свободного пробега I тепловых фононов. Если длина волны велика по сравнению с где - волновой вектор звуковой волны), то применима макроскопическая теория, основанная на уравнениях теории упругости (см. VII, § 35). Согласно этой теории, коэффициент поглощения звука складывается из двух членов, определяющихся соответственно теплопроводностью и вязкостью среды. Оба члена пропорциональны квадрату частоты. Наша цель состоит здесь в определении их температурной зависимости.

Теплопроводностный вклад в коэффициент поглощения звука выражается, по порядку величины, формулой

(72,1)

где а — коэффициент теплового расширения тела, С — теплоемкость единицы объема, — плотность. При высоких температурах, теплопроводность , а С и от температуры не зависят (см. V, §§ 65, 67). Поэтому в этой области не зависит от температуры. При низких же температурах температурная зависимость в основном определяется (в идеальной решетке) экспоненциально возрастающей, при уменьшении Т, теплопроводностью.

Обратимся к определению вязкостной части коэффициента поглощения звука (Л. И. Ахиезер, 1938).

Производя макроскопическую деформацию кристаллической решетки, внешнее звуковое поле меняет закон дисперсии фононов. Длина волны тепловых фононов мала по сравнению с длиной волны звука; поэтому по отношению к тепловому фонону деформацию можно считать однородной, т. е. считать фонон находящимся в решетке, по-прежнему регулярной, но с несколько измененными периодами.

В первом приближении по малой деформации частота и фонона в такой решетке связана с его частотой в недеформированной решетке формулой вида

где

— тензор деформации (U — вектор смещения). Характеризующий кристалл тензор зависит, вообще говоря, от к; для длинноволновых акустических фононов с линейным законом дисперсии он не зависит, однако, от абсолютной величины к.

В скобках в (72,2) должен был бы стоять еще и член вида выражающий собой тривиальное обстоятельство: если деформация приводит к повороту элемента объема решетки; то меняется направление осей (обратной решетки), относительно которых должен определяться квазиимпульс фонона в законе дисперсии; член выражал бы соответствующий пересчет к. Мы не пишем этот член в (72,2), так как заранее очевидно, что он не может отразиться на интересующей нас диссипации энергии в звуковой волне: реальный физический эффект — диссипация не может зависеть от вектора отличного от нуля уже для простого поворота тела как целого.

Изменение функции распределения фононов, вызванное деформацией решетки, определяется кинетическим уравнением

где - интеграл фонон-фононных столкновений (67,6), а Т — скорость изменения температуры в данной точке кристалла, неизбежно связанная с деформацией. Обычным образом, линеаризуя это уравнение и введя функцию согласно определению (67,15), сведем его к виду

где ( - линеаризованный интеграл столкновений (67,17). В левой части производная со выражена с помощью (72,2); индекс (0) у невозмущенной частоты здесь и ниже опускаем.

Производную Т можно в принципе выразить с помощью того же тензора . После умножения обеих сторон уравнения (72,4) на , интегрирования по -пространству и суммирования по всем ветвям спектра фононов правая сторона уравнения обращается в нуль — в силу сохранения энергии при столкновениях. Левая же сторона уравнения дает

где - усредненный по тензор .

В обоих предельных случаях высоких и низких температур не зависит от температуры. Действительно, при в усреднении существенны фононы с независящим от температуры квазиимпульсом При существенны длинноволновые акустические фононы, для которых не зависит от k, и потому усреднение тоже не вносит зависимости от температуры.

Обозначив запишем кинетическое уравнение в виде

Далее, выведем формулу, определяющую диссипацию энергии в неравновесном фононном газе. Для этого исходим из выражения энтропии единицы объема бозе-газа

(см. V, § 55). Продифференцировав это выражение по времени, находим

Заменив здесь N интегралом (ср. § 4) и произведя определенные переобозначения переменных к, к, в двух членах выражения (67,6), приведем S к виду

Умножив это выражение на Т, получим диссипативную функцию энергию, диссипируемую в единицу времени в единице объема. Подставив сюда представленным в виде (67,15)) и ограничиваясь первыми, квадратичными, членами разложения по получим

Написанных формул достаточно для определения температурной зависимости коэффициента поглощения звука. Рассмотрим сначала область высоких температур.

В этом случае интеграл столкновений содержит температуру в виде множителя (см. начало § 68). В левой же стороне кинетического уравнения (72,6) имеем причем для наем ой массы фононов частота не зависит от температуры. Таким образом, найдем, что для этих частот

Из выражения (72,9), в котором надо положить найдем теперь, что диссипативная функция не зависит от температуры. То же самое относится и к коэффициенту поглощения, получающемуся делением диссипативной функции на независящую от температуры величину — плотность потока энергии в звуковой волне. Таким образом, при вязкостная, как и теплопроводная части коэффициента поглощения звука не зависят от температуры.

Для низких температур необходимо прежде всего подчеркнуть принципиальное отличие от задачи о теплопроводности: конечное значение коэффициента поглощения звука получается уже в пренебрежении процессами переброса (частота которых при низких температурах мала). Напомним, что в случае теплопроводности отсутствие решения у кинетического уравнения без учета процессов переброса проявлялось в противоречии, возникающем при умножении этого уравнения на к и интегрировании по всему фонониому спектру: правая сторона уравнения обращается в нуль, между тем как левая сторона заведомо отлична от нуля . Для уравнения же (72,6) такого противоречия не возникает: поскольку его левая часть — четная функция к, то после умножения на к она становится нечетной функцией и интегрирование по обращает ее в нуль. При этом подразумевается, что обращается в нуль также и интеграл от члена с оператором процессов переброса — интеграл от Поскольку это не происходит автоматически в силу какого-либо закона сохранения, то тем самым налагается определенное условие на решение кинетического уравнения — функция должна быть четной по к (тогда — нечетная функция; легко видеть, что оператор не меняет четности функции Этим требованием устраняется произвол, связанный с существованием (в отсутствие процессов переброса) нечетного по к «паразитного» решения вида и обеспечивается правильный предельный переход к отсутствию этих процессов.

При основную роль в интеграле столкновений (и в диссипативной функции) играют фононы с энергией Это длинноволновые фононы акустических ветвей спектра; их частоты линейно зависят от к, а потому их Согласно (66,14), для столкновений таких фононов функция w в интеграле (67,17):

Функция распределения зависйт только от отношения так что при имеем Интегрирование производится по причем по по области Каждый множитель вносит, следовательно, в интеграл но множителю Т, а - функция — множитель Таким образом, найдем, что весь интеграл в смысле своей зависимости от температуры оценивается как Левая же сторона кинетического уравнения (72,6) при от температуры не зависит. Отсюда находим, что для

После этого аналогичная оценка интеграл (72,9) приводит к результату, что диссипативная функция, а с нею и вязкостная часть коэффициента поглощения звука обратно пропорциональны Т. Таким образом,

Отсутствие необходимости в процессах переброса приводит к тому, что эта часть коэффициента поглощения возрастает с понижением температуры лишь по степенному, а не по экспоненциальному закону.

Использование в изложенном выводе диссипативной функции позволило избежать вопроса о выражении тензора вязких напряжений в кристалле через функцию распределения фононов; нетривиальность этого вопроса связана с тем, что речь идет о тензоре плотности потока истинного импульса, отнюдь не совпадающего с квазиимпульсом фононов. Покажем, каким образом это выражение можно в свою очередь получить из вида диссипативной функции.

Для этого снова исходим из интеграла (72,8), представив в нем на этот раз производную N в виде выражения, стоящего в левой стороне кинетического уравнения (72,6). Логарифм же в подынтегральном выражении переписываем в виде (см. (67,16))

В результате находим

где (член же с множителем вместо тождественно обращается в нуль в силу определения ). Вместо здесь можно писать просто так как интеграл с постоянным множителем обращается в нуль в силу налагаемого на дополнительного условия (67,14).

С другой стороны, диссипативная функция (отнесенная к единице объема) выражается через тензор вязких напряжений как — (ср. VII, § 34). Сравнение с (72,11) приводит, таким образом, к следующему выражению для тензора вязких напряжений:

(В. Л. Гуревич).