§ 84. Гальваномагнитные явления в сильных полях. Общая теория

Характерным безразмерным параметром, определяющим влияние магнитного поля на электропроводность металла, является отношение , где — ларморовский радиус орбиты электрона, а - длина свободного пробега.

Напомним (см. IX, § 57), что движение электронов проводимости в магнитном поле практически всегда квазиклассично в связи с очень малой величиной отношения (где — ларморовская частота). Траекторией в импульсном пространстве является при этом контур сечения изоэнергетической поверхности плоскостью , причем ось направлена вдоль поля. Поскольку энергии электронов близки к граничной энергии то и изоэнергетические поверхности, о которых может здесь идти речь, близки к ферми-поверхности. Поэтому размеры траектории в импульсном пространстве совпадают с линейными размерами соответствующего сечения ферми-поверхности. Размеры же траектории в обычном пространстве

Эта величина обратно пропорциональна магнитному полю. Поэтому в гальваномагнитных явлениях надо считать слабыми поля, для которых а сильными для которых

В случае слабых магнитных полей кинетическое рассмотрение не приводит (при произвольном законе дисперсии электронов) к чему-либо новому по сравнению с результатами чисто феноменологической теории. Характер зависимости компонент тензора проводимости от магнитного поля в этом случае соответствует просто разложению по степеням В с учетом требований, налагаемых принципом симметрии кинетических коэффициентов (см. VIII, § 21).

В сильных же магнитных полях выяснение этой зависимости требует кинетического рассмотрения. Условие сильного поля (84,1) фактически выполняется лишь при низких температурах, когда пробег I достаточно велик. При этом металл обычно находится в области своего остаточного сопротивления, связанного с рассеянием электронов на примесных атомах; этот случай мы и будем иметь в виду. Взаимодействие электронов проводимости с атомом примеси происходит на расстояниях порядка величины постоянной решетки d. Если , но в то же время , то наличие магнитного поля не сказывается на этом взаимодействии и тем самым — на интеграле столкновений. В этих условиях характер зависимости тензора проводимости от магнитного поля оказывается не зависящим от конкретного вида интеграла столкновений.

В то же время он существенно зависит от структуры энергетического спектра электронов проводимости — от формы ферми-поверхности.

Приступим к составлению кинетического уравнения, описывающего гальваномагнитные явления.

Функцию распределения будет целесообразным выражать теперь не через декартовы составляющие квазиимпульса , а через другие переменные, связанные с траекторией электрона: энергию , компоненту квазиимпульса вдоль направления магнитного поля (ось ) и «время движения электрона по импульсной траектории» от некоторой фиксированной точки в данную. Последняя переменная (которую мы обозначим буквой ) вводится с помощью квазиклассического уравнения движения электрона проводимости в магнитном поле

- компоненты этого уравнения:

Взяв сумму квадратов этих уравнений и введя элемент длины импульсной траектории в плоскости получим

интегрированием этого равенства и определяется новая переменная через старые

Левая сторона кинетического уравнения в новых переменных принимает вид

Как обычно, функцию распределения будем искать в виде

В конце § 74 было показано, что в постоянных электрическом и магнитном полях линеаризованное по кинетическое уравнение для квазичастиц ферми-жидкости пишется так же, как оно писалось бы для частиц ферми-газа.

При этом производные надо выразить с помощью уравнения движения отдельного электрона в электромагнитном поле:

Для производной имеем отсюда

магнитное поле выпадает в соответствии с тем, что оно не производит работы над зарядом. Далее, при поле В, направленном по оси , имеем Наконец, из сравнения уравнений (84,2) и (84,6) видно, что производная отличается от 1 только за счет поля Е (учет этого отличия не понадобится).

Поскольку равновесная функция распределения зависит только от — независимые переменные, то Электрическое поле рассматривается как сколь угодно малое; при линеаризации кинетического уравнения члены, содержащие одновременно малые величины и Е, следует опустить. Тогда выражение (84,4) сводится к

Представим в виде

(ср. (78,6)). Тогда окончательно левая сторона кинетического уравнения примет вид

Интеграл же столкновений в правой стороне кинетического уравнения после линеаризации запишем в виде

(напомним, что в интеграле столкновений, описывающем упругое рассеяние на примесных атомах, любой множитель в зависящий только от может быть вынесен из-под знака интеграла); конкретный вид линейного интегрального оператора нам не понадобится.

Приравняв друг другу выражения (84,8) и (84,9), получим окончательно кинетическое уравнение, определяющее функцию g:

(84,10)

Тензор проводимости дается интегралом (78,9):

Переход в этом интеграле к новым переменным осуществляется заменой , где

— якобиан преобразования. Его легко найти прямо из уравнений (84,2), определяющих переменную т. Записав обе стороны, скажем, первого из этих уравнений, в виде якобианов,

и умножив обе стороны равенства на найдем Пренебрегая температурным размытием распределения полагаем, как обычно, после чего получим окончательное выражение

где интегрирование производится по ферми-поверхности.

Согласно определению (84,3), переменная пропорциональна . Поэтому член в линейном уравнении (84,10) пропорционален и тем самым велик по сравнению с остальными членами. Это дает возможность решать уравнение последовательными приближениями, в виде ряда по степеням 1/В:

(84,12)

где Для членов этого ряда имеем уравнения

Решение этих уравнений:

(84,14)

где — функции только от .

Функция g должна удовлетворять определенным условиям. Если импульсные траектории электронов (т. е. контуры сечений ферми-поверхности плоскостями ) замкнуты, то движение электронов периодично; соответственно должна быть периодична по переменной (с периодом Т, зависящим от ) также и функция ). Если же траектория открыта, то движение в импульсном пространстве инфинитно и функция g должна удовлетворять лишь условию конечности.

Усредним уравнения (84,13) по . Если функции g периодичны, то среднее по периоду значение

равно нулю, так как Если функции g не периодичны, то усреднение производится по бесконечному интервалу и среднее значение обращается в нуль ввиду конечности g. Таким образом, во всех случаях усреднение уравнений дает

(84,15)

эти соотношения определяют в принципе функции

Переходя к вычислению тензора проводимости, напомним предварительно некоторые общие его свойства, известные из феноменологической теории (см. VIII, § 21).

Согласно принципу симметрии кинетических коэффициентов,

(84,16)

Тензор можно разделить на симметричную и антисимметричную части:

(84,17)

Для них имеем, с учетом (85,16):

Таким образом, компоненты являются четными, а нечетными функциями В. Вместо антисимметричного тензора можно ввести дуальный ему аксиальный вектор а по определению

Тогда компоненты вектора плотности тока представятся в виде

(84,19)

Диссипация энергии при протекании тока определяется лишь симметричной частью тензора проводимости: Таким же образом можно разложить и обратный тензор на симметричную часть и антисимметричную часть, дуальную аксиальному вектору b. Тогда Е выразится через j формулой

(84,20)

Член в токе, или член в электрическом поле, описывает эффект Холла.