ГЛАВА VII. ДИЭЛЕКТРИКИ

§ 66. Взаимодействие фононов

Физическая природа кинетических явлений (теплопроводность, электропроводность) в газах состоит в процессах переноса, осуществляемого тепловым движением частиц газа; в кинетических явлениях в твердых телах роль частиц переходит к квазичастицам. Приступая к изучению этих явлений, мы начнем с теплопроводности немагнитных диэлектриков, Сравнительная простота физической картины этого явления, по сравнению с кинетическими процессами в других типах твердых тел, связана с тем, что здесь фигурируют квазичастицы лишь одного сорта — фононы.

Напомним (см. V, § 72), что представление о свободных фононах возникает в результате квантования колебательного движения атомов в кристаллической решетке в гармоническом приближении, т. е. с учетом лишь квадратичных (по смещениям атомов) членов в гамильтониане. Различные же процессы взаимодействия фононов возникают при учете членов следующих порядков малости — ангармонических членов третьего и т. д. порядков по смещениям.

Первые ангармонические члены — кубические в классической энергии решетки имеют вид

Здесь — векторы смещения атомов в решетке; — векторные индексы, пробегающие значения — номера атомов в элементарной ячейке; - целочисленные «векторы», определяющие положение ячейки в решетке; символ под знаком суммы означает, что суммирование производится по всем и по всем s; ввиду однородности кристалла функции зависят только от взаимных расстояний между ячейками, но не от их абсолютных положений в решетке.

Вторично-квантованный гамильтониан получается подстановкой в (66,1) вместо векторов смещений операторов , выраженных через операторы рождения с и уничтожения фононов сорта (т. е. ветви фононного спектра) g и с квазиимпульсом к формулой

где N — число ячеек в решетке, М — суммарная масса атомов в ячейке, — векторы поляризации фононов, - энергия фонона сорта При подстановке возникают члены, содержащие Операторы с и в различных комбинациях по три. Эти члены описывают процессы с участием трех фононов: произведения вида -распад одного фонона на два, а произведения вида -слияние двух сталкивающихся фононов в один (члены же отвечают процессам, запрещенным законом сохранения энергии).

Напишем, например, члены, отвечающие распаду фонона на два фонона Перейдя в (66,1) от суммирования по к суммированию по напишем эти члены в виде

где

В (66,3) выделен экспоненциальный множитель, зависящий от абсолютного положения ячейки в решетке. Суммирование этого множителя по всем дает если совпадает с каким-либо периодом обратной решетки b, или нуль в противном случае. Поэтому

причем квазиимпульсы фононов удовлетворяют закону сохранения

Условие (66,6) следует рассматривать как уравнение, определяющее значение, скажем, квазиимпульса по заданным значениям . При этом надо брать значения внутри некоторой выбранной одной элементарной ячейки обратной решетки (заключающей в себе все физически различные значения квазиимпульса) и следить за тем, чтобы и тоже оказалось в этой ячейке. Последнее условие определяет необходимое значение b в (66,6), причем однозначным образом. Действительно, если при заданных вектор лежит в выбранной ячейке, то любое изменение b заведомо вывело бы из этой ячейки. Процессы (в данном случае — распад фонона), при которых закон сохранения квазиимпульса содержит отличный от нуля вектор b, называются процессами с перебросом, в отличие от нормальных процессов с Надо сказать, что различие между этими двумя категориями процессов в известном смысле условно: каждый конкретный процесс может оказаться нормальным или с перебросом в зависимости от выбора основной ячейки. Существенно, однако, что никаким выбором нельзя обратить b в нуль одновременно для всех возможных процессов. Целесообразно выбирать основную ячейку обратной решетки так, чтобы точка (бесконечная длина волны) находилась в ее центре; это будет подразумеваться везде ниже. При таком выборе всем низкочастотным фононам отвечают малые значения квазиимпульса -постоянная решетки), а все процессы с участием одних только низкочастотных фононов являются нормальными. Большие же значения квазиимпульса будут отвечать коротковолновым фононам с большой энергией (порядка величины дебаевской температуры ).

Вернемся к процессу распада фонона. Согласно общим правилам квантовой механики (см. III, (43,1)), вероятность распада, при котором квазиимпульс одного из двух возникающих новых фононов лежит в интервале дается квадратом соответствующего матричного элемента оператора возмущения (66,5) согласно формуле

где - числа заполнения фононов в начальном состоянии кристалла. Матричные элементы операторов рождения и уничтожения фононов даются формулами

В результате получаем вероятность распада в виде

где

(66,10)

( - объем ячейки кристаллической решетки). Таким образом, вероятность процессов пропорциональна числу начальных фононов в начальном состоянии кристалла, а также числам конечных фононов в конечном состоянии кристалла. Последнее свойство связано со статистикой Бозе, которой подчиняются фононы, и характерно вообще для всех процессов с участием бозонов.

Процессом, обратным распаду, является «слияние» двух фононов в один фонон Легко найти, что члены в гамильтониане, ответственные за этот процесс, отличаются от (66,5) заменой произведения -операторов в числителе на и заменой Q на Поэтому вероятность этого процесса дается формулой, отличающейся от (66,9) лишь -множителями:

(66,11)

Функции же w здесь и в (66,9) одинаковы. Последнее обстоятельство отвечает общему правилу: в борновском приближении (первое приближение теории возмущений) вероятности прямого и обратного элементарных актов рассеяния одинаковы (см. III, § 126).

Среди различных ветвей фононного спектра всегда имеется три акустических, в которых энергия стремится к нулю при для длинноволновых (малые k) акустических фононов зависимость линейна. Для дальнейшего будет существенным поведение функции w (66,10) для таких фононов.

Его можно выяснить, заметив свойство коэффициентов Л в гамильтониане (66,1), выражающее собой тот факт, что простое смещение кристалла как целого не меняет его энергии — вне зависимости от того, деформирован ли уже кристалл или нет. Это значит, что энергия не должна измениться, если заменить в ней любой из множителей на с независящим от n, s вектором а.

Для этого необходимо, чтобы

(66,12)

где суммирование производится хотя бы по одной паре переменных .

Из трех участвующих в процессе фононов могут быть длинноволновыми акустическими либо один, либо все три (с двумя такими фононами при третьем коротковолновом не могут быть соблюдены законы сохранения импульса и энергии). Для акустического фонона в пределе поляризационные векторы стремятся к независящей от s постоянной, так как все атомы в ячейке колеблются вместе; множители же стремятся к единице. В силу свойства (66,12), величина (66,4) стремится, следовательно, к нулю, а при малых к пропорциональна k или (что то же для акустического фонона) пропорциональна о. В результате находим, что

(66,13)

если длинноволновым является один фонон, или

(66,14)

если длинноволновые все три фонона.

К результату (66,13-14) можно прийти и более наглядным путем, вспомнив, что длинноволновые акустические фононы отвечают макроскопическим звуковым волнам, которые допускают рассмотрение с помощью макроскопической теории упругости. В этой теории энергия деформированного кристалла выражается через тензор деформации

где - вектор макроскопического смещения точек упругой среды. Именно компоненты этого тензора являются теми малыми величинами, по которым происходит разложение упругой энергии. При вторичном квантовании вектор U заменяется оператором U, аналогичным (66,2). Дифференцирование же U по координатам для построения операторов дает тот дополнительный множитель k, который и приводит к законам (66,13-14).