§ 73. Поглощение звука в диэлектрике. Короткие волны

В обратном случае коротких длин волн, процесс затухания звуковой волны можно рассматривать как результат поглощения одиночных квантов звука при их столкновениях с тепловыми фононами (Л. Д. Ландау, Ю. Б. Румер, 1937). Допустимость такого подхода требует, чтобы энергия и импульс тепловых фононов были определены достаточно точно: при изменении в результате поглощения звукового кванта они должны попасть в область вне квантовой неопределенности, связанной с конечностью длины пробега; это условие обеспечивается неравенством Фактически такая ситуация может осуществляться лишь при низких температурах, когда длина пробега становится достаточно большой.

В первом приближении, т. е. при учете процессов с участием наименьшего числа фононов, речь идет о трехфононных процессах:

где - энергия и квазиимпульс звукового кванта, а относятся к тепловым фононам. Энергии и квазиимпульсы тепловых фононов Мы будем предполагать в дальнейшем, что

Тогда будут велики по сравнению

Как мы видели в § 68, законы сохранения (73,1) могут быть выполнены лишь, если скорость теплового фонона превышает скорость поглощаемых (или испускаемых) звуковых квантов. Не вдаваясь в обсуждение различных возможных случаев, будем считать, что звуковая волна не является «продольной» (т. е. не отвечает акустической ветви фононного спектра с наиболыцей скоростью), так что указанное условие может быть выполнено. Ввиду малости начальный и конечный тепловые фононы относятся, вообще говоря, к одной и той же акустической ветви фононного спектра; при низких температурах они являются длинноволновыми.

Вероятности испускания или поглощения фонона в трехфононном процессе даются формулами (66,9) или (66,11). При этом числа заполнения даются равновесной функцией распределения Планка (67,9). Макроскопическая же звуковая волна соответствует очень большому числу заполнения заданного фононного состояния f; до сравнению с этим числом единицей можно, конечно, пренебречь. Опустив множитель , мы получим вероятность, отнесенную к одному звуковому кванту.

Таким образом, вероятность поглощения звукового кванта при его столкновениях с тепловыми фононами со всеми возможными значениями дается интегралом

Вероятность же обратного процесса испускания фонона всевозможными фшоназйи есть

Фигурирующая в формулах (66,9), (66,11) функция w написана, согласно (66,14), в виде с учетом того, что все три фонона — длинноволновые (А — функция направлений всех фононов).

Поглощение фоионов (относительная скорость убывания их числа) определяется разностью этих двух вероятностей. Поскольку частота мала по сравнению с , то

Таким образом, коэффициент поглощения

(73,5)

Нас интересует зависимость этой величины от частоты звука и от температуры кристалла Т. Она всецело определяется тем фактом, что все фигурирующие в (73,5) частоты линейные функции волновых векторов. Для упрощения рассуждений достаточно считать, что , где — независящие от направления скорости.

Ввиду малости можно доложить По той же причине

где - угол между

Тогда имеем

и интеграл (73,5) принимает вид

(73,6)

или, после устранения -функции,

Поскольку -функция только от отношения (ввиду быстрой сходимости интегрирование по кг можно распространить до ), оставшийся интеграл пропорционален Т. Таким образом,

Отметим, что коэффициент поглощения звука оказывается здесь пропорциональным первой степени частоты.

Отметим также, что при принятом выше условии (73,2) рассмотренный механизм затухания звука вполне аналогичен затуханию Ландау в плазме. Роль «резонансных электронов» в данном случае играют фононы, движущиеся в фазе со звуковой волной. Естественно повтому сходство между (73,6) и формулой (30,1) затухания Ландау.