§ 58. Уравнения гидродинамики магнитоактивной плазмы

Если характерные пространственные размеры L в движущейся плазме велики по сравнению с длинами свободного пробега,

то можно считать, что благодаря столкновениям в каждом небольшом участке плазмы устанавливается термодинамическое равновесие со своими местными значениями температуры (одинаковыми для электронов и ионов), давления и т. п. В таких случаях движение плазмы может описываться макроскопическими гидродинамическими уравнениями.

Уравнения магнитной гидродинамики были написаны в VIII, § 51. При этом, однако, подразумевалось, что кинетические коэффициенты среды (ее вязкость, теплопроводность) не зависят от магнитного поля. В плазме для этого должны быть выполнены условия

(второе условие следует из первого). Эти условия часто оказываются слишком жесткими, в связи с чем возникает необходимость в составлении гидродинамических уравнений, свободных от указанного ограничения

Уравнение непрерывности для массовой плотности сохраняет, конечно, свой обычный вид

где - макроскопическая скорость. Остается прежним также и общий вид уравнения Навье—Стокса

и уравнение сохранения энергии

где — тензор вязких напряжений; обозначает вектор с составляющими - плотность потока энергии, включающая в себя как диссипативную часть, связанную с теплопроводностью и термоэлектрическими явлениями, так и конвективный перенос энергии током (см. ниже определение ); - внутренняя энергия и тепловая функция среды, отнесенные к единице ее массы.

Тензор и вектор q должны быть выражены через градиенты термодинамических величин и скорости; вид этих выражений как раз и зависит от магнитного поля.

В связи с уравнением (58,3) необходимо сделать следующее замечание. В этом уравнении учтена сила, действующая на плазму со стороны магнитного поля (последний член слева), но опущена сила

действующая со стороны электрического поля. Это пренебрежение в данном случае оправдано: из условия (58,1) следует, что и подавно , а потому плазма квазинейтральна, так что можно положить и некомпенсированные заряды в плазме отсутствуют.

К уравнениям (58,2-4) надо добавить уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля (уравнения без тока смещения):

Напомним, что квазистационарность поля означает малость частоты его изменения со в смысле . При этом электрическое поле, индуцируемое переменным магнитным полем, именно поэтому в (58,4) надо учитывать плотность энергии лишь магнитного, но не электрического, поля. Отметим также, что пренебрежение током смещения находится в соответствии с предположением о квазинейтральности плазмы: из последнего уравнения (58,5) следует

Наконец, надо присоединить уравнение, выражающее «обобщенный закон Ома», вида

где - некоторая линейная комбинация тока j и градиентов термодинамических величин.

Напомним VIII, § 49), что происхождение комбинации из Е и В в левой стороне (58,6) связано с преобразованием Е при переходе от системы покоя данного элемента объема среды к системе отсчета, в которой он движется со скоростью V.

В квазинейтральной плазме относительная концентрация ее компонент (электроны и ионы) есть заданная неизменная величина Поэтому независимыми термодинамическими переменными являются лишь температура и давление; вопрос о выражении F и q через градиенты этих величин (и ток j) формально совпадает с таким же вопросом в теории термогальваномагнитных эффектов в металлах (см. VIII, § ).

Соотношения между j и q, с одной стороны, и полем и градиентами термодинамических величин с другой, записываются в виде, обобщающем соотношения (44,12-13):

Здесь — химический потенциал электронов, а тензоры зависят, как от параметра, от магнитного поля В. Отсутствие в левой стороне (58,8) члена (ср. (44,13)) связано с тем, что величина уже учтена в (58,4) вектором Пойнтинга в плотности потока энергии. В этом легко убедиться, преобразовав с помощью уравнений Максвелла (58,5) его дивергенцию:

Таким образом, поток энергии q в (58,8) уже не содержит в себе переноса частицами энергии

В силу принципа Онсагера, коэффициенты в соотношениях (58,7—8) связаны друг с другом соотношениями

(58,10)

Поскольку В — единственный имеющийся в нашем распоряжении векторный параметр, зависимость тензоров от направления может быть написана в общем виде

(58,11)

(и аналогично для остальных тензоров), где скалярные коэффициенты - функции величины поля такая зависимость удовлетворяет требованию симметрии по отношению к инверсии: В—аксиальный вектор, и его компоненты не меняют знак при инверсии, как должно быть и для компонент истинных

Отметим, что выражения вида (58,11) автоматически удовлетворяют соотношениям (58,9), а (58,10) принимает вид

(58,12)

При фактическом применении выражений (58,7-8) в магнитной гидродинамике градиент химического потенциала удобнее выразить через градиенты давления и температуры согласно

где — парциальное давление электронов в плазме, и - энтропия и тепловая функция электронной компоненты плазмы, отнесенные к одной частице. Окончательно перепишем соотношения (58,7-8) в векторном виде как

(58,13)

где введены новые обозначения для коэффициентов (все они — функции В), а индексы означают составляющие векторов, продольные и поперечные относительно В. Определение коэффициента в (58,13) отличается от его определения в (58,7) включением в него величины Коэффициенты описывают соответственно так называемые эффекты Холла, Нернста и Ледюка — Риги. Напомним также, что члены в (58,13) и в (58,14) представляют собой бездиссипативные нетические эффекты: они выпадают из произведений и потому не связаны с увеличением энтропии.

Что касается тензора вязких напряжений то его общее выражение через градиенты макроскопической скорости было написано уже в § 13. В применении к плазме это выражение несколько упрощается ввиду обращения в нуль обоих коэффициентов второй вязкости Равенство нулю коэффициента есть общее свойство всех одноатомных газов, к каковым относится и плазма.

Причина же отсутствия члена с объяснена в следующем параграфе.

Остальные члены в (13,18) в применении к плазме целесообразно несколько перегруппировать, имея в виду, что в плазме влияние магнитного поля на вязкость является, вообще говоря, сильным эффектор (а не слабым, как в нейтральном газе); поэтому не имеет смысла выделять обычный коэффициент вязкости . Представим здесь в виде, отличающемся от (13,18) лишь тем, что член с заменен членом

(58,15)

где (вместо ) о целесообразности такого определения см. ниже, примечание на стр. 306.

Если выбрать ось z в направлении b, то компоненты тензора напряжений примут вид

(58,16)