§ 40. Диэлектрическая проницаемость вырожденной бесстолкновительной плазмы

При вычислении в §§ 29, 31 диэлектрической проницаемости бесстолкновительной плазмы полностью пренебрегалось всеми квантовыми эффектами. Полученные таким образом результаты ограничены, прежде всего, по температуре условием отсутствия вырождения; для электронов это условие гласит:

где — граничный импульс распределения Ферми при связанный с плотностью числа электронов равенством .

Кроме того, сама возможность применения к плазме во внешнем поле классического уравнения Больцмана связана с определенными условиями, наложенными на волновой вектор к и частоту и поля. Характерные расстояния изменения поля должны быть велики по сравнению с де-бройлевской длиной волны электронов а связанная с этой неоднородностью неопределенность импульса должна быть мала по сравнению с шириной области размытия теплового распределения электронов. Для невырожденной плазмы так что оба эти условия совпадают. Для вырожденной плазмы но поскольку , то . Таким образом, достаточно потребовать в обоих случаях

Наконец, частота должна удовлетворять условию

— квант энергии поля должен быть мал по сравнению со средней энергией электрона (это условие, впрочем, обычно не играет роли).

Теперь мы рассмотрим диэлектрические свойства плазмы, отказавшись от выполнения условий (40,1-3) для ее электронной компоненты; ионная же компонента может оставаться невырожденной.

Мы будем вычислять электронную часть диэлектрической проницаемости. При этом будет по-прежнему предполагаться выполненным условие, обеспечивающее возможность пренебрежения взаимодействием частиц плазмы:

при это условие принимает вид или (ср. V, § 80, IX, § 85).

Отказ от условия (40,2) требует применения с самого начала квантовомеханического уравнения для матрицы плотности. Поскольку взаимодействием между электронами пренебрегается, можно писать замкнутое уравнение сразу для одночастичной матрицы плотности ( — спиновые индексы). Будем считать распределение электронов независящим от спина; другими словами, зависимость матрицы плотности от спиновых индексов отделяется в виде множителя который мы будем опускать. Независящая от спина матрица плотности удовлетворяет уравнению

где Н — гамильтониан электрона во внешнем поле, а индексы 1 или 2 указывают переменные или на которые действует оператор (см. III, § 14). Это уравнение заменяет собой классическую теорему Лиувилля для классической одночастичной функции распределения.

Будем (как и в § 29) вычислять продольную диэлектрическую проницаемость. Соответственно этому рассматриваем электрическое поле со скалярным потенциалом , так что гамильтониан электрона

Считая поле слабым, полагаем

где — матрица плотности невозмущенного стационарного и однородного (но не обязательно равновесного) состояния газа; в силу его однородности, зависит только от разности . Матрица плотности связана с (невозмущенной) функцией распределения электронов по импульсам формулой

где — полное число электронов (см. IX, (7,20)).

Здесь определяется как числа заполнения квантовых состояний электронов с определенными значениями импульса и проекции спина. Число состояний, приходящихся на элемент импульсного пространства и с двумя значениями проекции спина, есть Поэтому связано с использовавшейся ранее функцией распределения соотношением

Подставив (40,7) в (40,8) и отбросив члены второго порядка малости, получим линейное уравнение для малой добавки к матрице плотности:

Пусть

(40,10)

Тогда зависимость решения уравнения (40,10) от суммы (и от времени) можно отделить, положив

(40,12)

Подставив это выражение в (40,10), получим уравнение для :

Теперь можно перейти в этом уравнении к фурье-разложению по R. Умножив обе его стороны на и проинтегрировав по получим (с учетом (40,8))

(где ) или

Значение матрицы плотности при определяет плотность числа частиц в системе: (см. IX, (7,19)). Поэтому изменение плотности электронов под влиянием поля есть

или, выразив через фурье-компоненты,

(40,14)

Соответствующее же изменение плотности зарядов есть

Диэлектрическая проницаемость вычисляется теперь так, как это было сделано в § 29: исходя из связи плотности заряда с вектором диэлектрической поляризации пишем

Таким образом, находим следующую формулу для электронной части продольной диэлектрической проницаемости плазмы с функцией распределения электронов (индекс 0 у которой теперь опускаем):

(Ю. Л. Климонтович, В. П. Силин, 1952); обход полюса в интеграле определяется, как обычно, правилом Ландау.

В квазиклассическом случае, при выполнении условий (40,2-3), можно разложить функции по степеням к. Тогда

и формула (40,15) переходит (с учетом связи (40,9)) в прежнюю формулу (29,9). Подчеркнем, однако, что распределение в этой формуле может относиться к вырожденной плазме.

Применим формулу (40,15) к полностью вырожденной электронной плазме при когда при при . Заменив в двух членах в (40,15) переменную интегрирования получим

где

Элементарное, хотя и довольно громоздкое интегрирование приводит к результату

(40,16)

причем логарифм должен пониматься как если его аргумент «плазменная частота» определена по-прежнему как .

В квазиклассическом пределе, при , формула (40,16) приводит к простому выражению, не содержащему

(40,17)

Особый интерес представляет статический случай. При выражение (40,16) как функция k имеет особенность в точке, где совпадает с диаметром ферми-сферы:

(40,18)

в этой точке аргумент одного из логарифмов обращается в нуль. Вблизи нее

Покажем, что наличие этой особенности (ее называют коновской) приводит к изменению характера экранировки поля зарядов в плазме, которая становится не экспоненциальной 2).

Запишем выражение (40,19) в виде

где , а постоянная может включать в себя также и не имеющий особенности вклад от невырожденной ионной компоненты плазмы.

Фурье-компонента поля, создаваемого покоящимся в плазме малым точечным зарядом выражается через диэлектрическую проницаемость формулой

(см. задачу 1 § 31). Для потенциала же как функции расстояния от заряда имеем

(40,22)

При функция стремится к постоянному пределу и не имеет особенности. Поэтому асимптотическое поведение интеграла в (40,22) при определяется особенностью этой функции при Вблизи нее

Вклад этой области в асимптотическое значение интеграла:

ввиду быстрой сходимости (см. ниже) интегрирование по можно распространить от до

Для вычисления интеграла J разделим его на две части — от — до 0 и от 0 до каждой из них повернем путь интегрирования в плоскости комплексной переменной до его совпадения с верхней мнимой полуосью. Положив затем получим

Разность в квадратных скобках сводится к , так что Окончательно находим

Таким образом, потенциал экранированного поля вдали от заряда осциллирует с амплитудой, спадающей по степенному закону. Этот результат, полученный для вырожденной плазмы при остается в силе для малых, но конечных температур на расстояниях

Задача

Определить спектр электронных колебаний вырожденной плазмы при в квазиклассической области значений

Решение. Зависимость дается уравнением с , из (40,17). При малых оказывается, что действительно, разложив по степеням этого отношения, получим

(Л. А. Власов, 1938) Эта часть спектра соответствует обычным плазменным колебаниям (ср. (32,5)).

Рис. 12.

При больших , но по-прежнему оказывается, что со . Решая уравнение последовательными приближениями, получим

(И. И. Гольдман, 1947). Эта часть спектра аналогична нулевому звуку в незаряженном ферми-газе (ср. IX, (4,16)).

Ход спектра показан схематически на рис. 12. Отметим, что везде , а поскольку при нет частиц со скоростями , то затухание Ландау строго равно нулю.