§ 55. Затухание Ландау в магнитоактивной плазме

Учет теплового движения частиц плазмы приводит к появлению у тензора антиэрмитовой части. В бесстолкновительной плазме, ввиду отсутствия истинной диссипации энергии, эта часть тензора связана с затуханием Ландау.

Мы видели в § 30, что механизм затухания Ландау связан с передачей энергии электромагнитного поля частицам, движущимся в фазе с волной: в затухании участвуют частицы, для которых , т. е. проекция скорости v на направление к совпадает с фазовой скоростью волны . В магнитоактивной плазме это условие несколько меняется: должны совпадать проекции скорости частицы и фазовой скорости волны на направление постоянного поля

Действительно, поперечное по отношению к движение частицы происходит по круговым траекториям и не может сопровождаться систематической передачей энергии от поля к частице: если на одной части круговой траектории частица движется в фазе с волной и получает от нее энергию, то на противоположной части траектории такая же энергия будет отдана частицей полю.

В магнитоактивной плазме, однако, существует еще и другой механизм бесстолкновительной диссипации, связанный именно с ларморовым вращением частиц. В системе координат, движущейся вдоль поля вместе с частицей (со скоростью ), последняя движется по круговой орбите с частотой Такая частица представляет собой, в электродинамическом отношении, осциллятор, излучающий на частоте (магнитотормозное излучение). Напротив, будучи помещен в переменное внешнее поле, осциллятор поглощает на этой же частоте. Частота электромагнитной волны в движущейся (относительно плазмы) системе координат, измененная эффектом Допплера, равна Поэтому в указанном поглощении будут принимать участие частицы, для которых

Если то поле волны однородно в поперечных (к ) направлениях, т. е. действующая на осциллятор вынуждающая сила не зависит от его координат. Именно в таких условиях осциллятор поглощает только на своей частоте Если же то вынуждающая сила зависит от координат осциллятора, в результате чего появляется поглощение также и на кратных частотах, т. е. при условиях

(55,2)

где — любое (положительное или отрицательное) целое число. Описанный механизм диссипации называют циклотронным затуханием Ландау, в зависимости от значения говорят о затухании на простом или кратном циклотронном резонансе.

Таким образом, значительное затухание может иметь место в областях частот, в которых

(55,3)

(значение отвечает условию (55,1)). Эти линии резонансного поглощения существуют как на электронных, так и на ионных частотах

С математической точки зрения условиям отвечают полюсы, которые в этих точках имеют различные члены разложения функции распределения в ряд Фурье (53,14 —16). Антиэрмитовы части тензора возникают от вычетов при обходе этих полюсов в интеграле (54,1) по правилу Ландау.

Переход к пределу имеет математически своеобразный характер. В магнитном поле «полюсные» значения (при заданном ) образуют дискретную последовательность, определяемую уравнением (55,2). По мере уменьшения поля полюсы сближаются и в пределе полюсные значения зависят уже не от дискретного номера , а от непрерывного параметра , в соответствии с условием

(как это показано при переходе от (53,12) к (53,13)).

Вычислим, для примера, тензор диэлектрической проницаемости в области простого циклотронного резонанса электронов. Будем считать также, что

Тогда можно воспользоваться для функции распределения всего одним членом ряда Фурье—выражением (53,19), соответствующим данному значению я. При этом, в силу второго условия (55,4), эта функция может быть разложена по степеням . В случае в таком разложении можно ограничиться нулевым членом — в соответствии с тем, что циклотронное поглощение на частоте не требует неоднородности внешнего поля в плоскости

Таким образом, пишем функцию распределения в виде

причем

Написав

и выполнив интегрирование, получим

С этой функцией распределения вектор поляризации (54,1) имеет лишь и -компоненты. После выполнения интегрирования по они принимают вид

Интеграл такого вида выражается через определенную согласно (31,3) функцию F. Окончательно находим для компонент диэлектрического тензора:

Антиэрмитова часть этого тензора, описывающая затухание:

Эрмитова же часть в непосредственной близости к точке имеет вид

В самой этой точке она меняет знак, обращаясь в нуль. Мы видим здесь, каким образом учет пространственной дисперсии устраняет полюсы диэлектрической проницаемости холодной плазмы (52,11): разрывная зависимость, изображенная на рис. 16 пунктиром, заменяется непрерывной зависимостью, изображенной сплошной линией 2).

В пределе выражение (55,8) сводится к -функции:

(55,10)

(действительно, при функция (55,8) обращается в пределе в нуль; в то же время интеграл этой функции по равен независимо от значения Этот результат вполне ясен: в отсутствие пространственной дисперсии ширина линии поглощения обращается в нуль и затухание остается лишь при точном совпадении со с Формулу (55,10) можно использовать вместо (55,8) в интегральных по выражениях.

Рис. 16.

Отметим, что формула (55,10) может быть получена и непосредственно из выражений (52,11) диэлектрической проницаемости холодной плазмы с помощью правила обхода Ландау. Согласно этому правилу, при наличии полюса по частоте со последняя должна пониматься как Поэтому фигурирующие в (52,11) полюсные множители надо в действительности понимать в следующем смысле:

и по правилу (29,8):

(55,11)

Произведя в (52,11) такую замену, получим (55,10).

При (т. е. при ) затухание Ландау в магнитоактивной плазме отсутствует: скорость частиц выпадает из условий (55,1-2), и они не могут быть выполнены (кроме как при точном совпадении со с каким-либо псод). Подчеркнем, что это свойство связано с нерелятивистским приближением; в релятивистской плазме затухание Ландау (циклотронное) может существовать и при Частота обращения вокруг направления для релятивистской заряженной частицы с энергией равна

(с прежним определением ). Это значение должно фигурировать в правой стороне условия (55,2) вместо . В частности, при будем иметь

для возможности выполнения этого условия требуется лишь, чтобы было .

Затухание Ландау в магнитоактивной релятивистской плазме может существовать и в пределе к (в отличие не только от магнитоактивной нерелятивистской плазмы, но и от релятивистской плазмы в отсутствие магнитного поля). Оно осуществляется за счет частиц, находящихся в простом циклотронном резонансе с однородным переменным полем (условие (55,12) с и существует, следовательно, при частотах (см. задачу 2).

Задачи

1. Найти тензор диэлектрической проницаемости магнитоактивной плазмы при предполагаются выполненными также условия (55,4).

Решение. В нулевом приближении по малому параметру функция распределения для этого случая (член ряда Фурье (53,14-15)):

где

С этой функцией вектор поляризации Р имеет только г- компоненту, и из всех компонент тензора -бар отлична от нуля лишь одна:

После тождественной замены

интеграл от первого члена обращается в нуль (при интегрировании по ); второй же член приводит к результату

Мнимая часть этого выражения:

2. Найти антиэрмитову часть тензора диэлектрической проницаемости ультрарелятивистской магнитоактивной электронной плазмы в пределе к

Решение. В релятивистском случае кинетическое уравнение (53,5) остается тем же, но при его преобразовании к виду (53,6) релятивистское соотношение ( — энергия электрона) вместо приводит к замене на с этой заменой остаются справедливыми и все последующие формулы в § 53.

При затухание происходит только от простого циклотронного резонанса; поэтому для вычисления антиэрмитовой части достаточно учесть лишь член s = 1 в (53,14-15). Аналогично найдем

Ультрарелятивидтская ( ) функция

Вектор поляризации вычисляется как

причем надо записать в виде . После выполнения интегрирования по и замены получается

Интеграл имеет мнимую часть, если полюс лежит в области интегрирования, т. е. если . В этом случае окончательно находим