§ 56. Электромагнитные волны в магнитоактивной холодной плазме

Выведем общее уравнение, определяющее зависимость частоты от волнового вектора (или, как говорят, закон дисперсии) для свободных монохроматических волн, распространяющихся в среде с произвольным диэлектрическим тензором .

Для электромагнитного поля, зависящего от времени и координат по закону , уравнения Максвелла (28,2) принимают вид

Подставив

или, в компонентах,

Условие совместности этой системы линейных однородных уравнений выражается равенством нулю определителя:

Это и есть искомое дисперсионное уравнение. При заданном (вещественном) к оно определяет частоты (вообще говоря, комплексные), или, как говорят, спектр собственных колебаний среды. В общем случае наличия частотной и пространственной дисперсий уравнение (56,4) определяет бесконечное множество ветвей функции .

Рассмотрим электромагнитные волны в холодной магнитоактивной плазме с тензором диэлектрической проницаемости, даваемым формулами (52,7) и (52,11). Ввиду эрмитовости этого тензора заранее ясно, что определяемые уравнением (56,4) значения вещественны.

Поскольку в отсутствие пространственной дисперсии зависят только от , то по отношению к к дисперсионное уравнение (56,4) — алгебраическое. Раскрыв определитель, получим после простого вычисления

где

( - угол между k и ). При заданных значениях и уравнение (56,5) дает два значения , т. е. в плазме могут распространяться, вообще говоря, два типа волн.

Рассмотрим сначала случаи распространения волн строго вдоль и строго поперек ) магнитного поля, представляющие специфические особенности.

При корни дисперсионного уравнения дают

Из уравнений (56,3) легко видеть, что эти волны поперечны и поляризованы по кругу

Обращение выражений (56,9) в бесконечность при или при -отвечает резонансу — совпадению частоты и направления вращения вектора Е с частотой и направлением ларморовского вращения электронов или ионов. На рис. 17 показан, для иллюстрации, примерный ход величины как функции . При значения стремятся к предельному значению

(пренебрежено по сравнению с определено ниже формулой ). Распространению незатухающих волн отвечают, конечно, лишь те части кривых (показанные на рисунке сплошными линиями), на которых

При уравнение (56,5) удовлетворяется также и при что соответствует обычным продольным плазменным волнам с независящей от к частотой

При два корня дисперсионного уравнения:

(56,10)

Первому отвечает волна с независящим от законом дисперсии

Рис. 17.

Эта волна поперечна и линейно поляризована причем Второму корню (56,10) отвечает волна с полем имеющим составляющие как продольную, так и поперечную по отношению к к. Если частота настолько велика, что вкладом ионов в можно пренебречь , то в этой волне

В общем случае произвольных углов (отличных от 0 или ) замечаем прежде всего, что для каждого значения существуют частоты, при которых коэффициент А в уравнении (56,5) обращается в нуль:

(56,12)

Если для определяемых этим уравнением частот (так называемые частоты плазменных резонансов) выполняется также условие «медленности» то согласно § 32 им отвечают продольные собственные колебания плазмы. В то же время обращение в нуль коэффициента при в квадратном (относительно ) уравнении (56,5) означает обращение одного из его корней в бесконечность; при эти корни равны

Уравнение (56.12) - кубическое относительно и имеет три вещественных корня. Их легко определить, использовав малость отношений и . Два корня получаются при пренебрежении в (56,12) вкладом ионов и равны

(56,13)

Учет ионов, однако, необходим в области в которой лежит третий корень; для. этого корня легко получить выражение

(56,14)

(здесь предположено ). Формулы (56,13) и (56,14) для неприменимы при углах 0, настолько близких к что . В этой области

Ролью ионов нельзя пренебречь не только для но и для

На рис. 18 изображен схематически характер зависимости частот от угла ). Кривые никогда не пересекаются друг с другом. Первая из них начинается (при ) от большей, а вторая — от меньшей из частот . При они достигают соответственно значений

(56,16)

и

Частота называют соответственно верхней и нижней гибридными частотами. При потому и заведомо вторая из них:

Положение частот в значительной степени задает расположение различных ветвей спектра, определяемого дисперсионным уравнением (56,5). Как квадратное по уравнение оно имеет при заданных два корня. Проследив (при заданном ) за изменением и обращением в бесконечность этих корней как функций легко прийти к рис. 19, на котором схематически показан ход этих функций. Точки пересечения кривых с осью абсцисс определяются уравнением или Положение этих точек не зависит от угла ; одна из них (корень уравнения есть всегда

Спектр собственных колебаний холодной магнитоактивной плазмы содержит, таким образом, всего пять ветвей. Две из них (ветви I и II на рис. 19) достигают области низкочастотных колебаний; предельные (при ) значения фазовой скорости в этих ветвях равны

где

(56,18)

эту величину называют альфвеновской скоростью. Выражения (56,17) легко найти из уравнения (56,5), воспользовавшись предельными выражениями

При фазовые скорости (56,17) равны соответственно . Эти предельные значения соответствуют волнам, которые существуют в холодной плазме согласно обычным уравнениям магнитной гидродинамики (см. VIII, § 52). Действительно, спектр магнитогидродинамических волн содержит три ветви.

Рис. 18.

Во всех трех ветвях функция линейна, но, вообще говоря, зависит от направления :

(56,19)

( — скорость звука, формально вычисленная по адиабатической сжимаемости среды). Фазовая скорость первой из этих ветвей (их называют альфвеновскими волнами) прямо совпадает с предельным значением скорости первой из ветвей (56,17). Для того чтобы перейти к холодной плазме во второй формуле, следует положить в ней (поскольку в газе При этом (соответствующие волны называют быстрыми магнитозвуковыми) совпадает с предельным значением Что касается третьей ветви, (она называется медленной магнитозвуковой волной), то ее скорость обращается в нуль при и потому она в холодной плазме отсутствует. Отметим, что предположение о холодности плазмы позволяет пренебрегать тепловым разбросом скоростей ионов и описывать их гидродинамически даже в отсутствие столкновений. Условие оправдывает пренебрежение токами смещения в уравнениях магнитной гидродинамики.

Рис. 19.

В обратном случае больших частот фазовые скорости двух ветвей (IV и V) стремятся к значениям отвечающим поперечным высокочастотным волнам в изотропной плазме, — как и должно было быть, поскольку при магнитное поле не играет роли.

Наконец, остановимся на интересном случае волн, которые могут иметь место при при этом резонансная частота Рассмотрим в этом случае область частот, промежуточных (на ветви II) между определяемую неравенствами

(56,20)

Условие позволяет пренебречь в g вкладом ионов, а в силу условия будет

При условиях (56,20) будет также

Искомое решение дисперсионного уравнения получается более прямым образом, если записать последнее в виде

(56,22)

перейдя в (56,4) от тензора к его обратному (т. е. выразив в уравнениях (57,3) Е через D). Компоненты обратного тензора:

и наибольшей из них будет . Пренебрегая остальными компонентами (и выбрав плоскость проходящей через ), получим дисперсионное уравнение

откуда

(56,23)

Эти волны называют геликоидальными; они имеют чисто электронное происхождение.

Название этих волн связано с характером их поляризации. Из равенства (56,2) при сделанном выборе координатных осей имеем

(56,24)

Из уравнений же (56,3), написанных в виде

(56,25)

находим В том же приближении (т. е. при сохранении из всех лишь ) электрическое поле волны лежит целиком в плоскости перпендикулярной Компоненты же

и из (56,24) следует

(56,26)

Таким образом, волна эллиптически поляризована в плоскости, перпендикулярной при поляризация становится линейной. В системе же координат с осью вдоль k, имеем

(56,27)

Вектор Е вращается вокруг направления к, описывая круговой конус.

Отметим, что выражение (56,21) для имеет простой физический смысл. При (вместе с подразумевающимся везде условием можно считать, что поперечное (по отношению к ) движение электронов происходит в постоянном и однородном поле Е. Но при движении заряда в постоянных и однородных скрещенных полях Е и В, его средняя поперечная скорость (скорость электрического дрейфа) есть

(56,28)

(см. II, § 22). Именно этой скорости и отвечает выражение (56,21). Таким образом, геликоидальные волны связаны g электрическим дрейфом электронов в плазме.