§ 53. Функция распределения в магнитном поле

Тензор диэлектрической проницаемости бесстолкновительной магнитоактивной плазмы с учетом пространственной дисперсии вычисляется по функциям распределения электронов и ионов, определяемым кинетическим уравнением.

Будем, для определенности, писать все формулы для электронов. Кинетические уравнения бесстолкновительной плазмы были написаны уже в § 27. Для электронов оно имеет вид

Пусть плазма находится в постоянном однородном магнитном поле произвольной величины и слабом переменном электромагнитном поле, в котором

(53,2)

При этом, в силу уравнений Максвелла,

Подставим в , а функцию распределения представим в виде , где - стационарное и однородное распределение в отсутствие переменного поля; малая добавка зависит от по тому же закону (53,2), что и поля Е, В, которым она пропорциональна. Отделив в уравнении члены нулевого и первого порядков по слабому полю, полечим

Обозначим посредством составляющие векторов v, k вдоль поля , а посредством - составляющие в перпендикулярной плоскости; пусть угол между v и плоскостью (отсчитываемый в направлении вращения буравчика, ввинчиваемого вдоль вектора ); переменные составляют цилиндрические координаты в -пространстве.

В этих переменных уравнение (53,5) принимает вид

Из уравнения же (53,4) следует, что может быть любой функцией, зависящей только от

(этот результат заранее очевиден для бесстолкновительной плазмы, поскольку и те переменные, на которые не влияет магнитное поле).

Для упрощения записи формул введем обозначения

Если зависит только от энергии электронов то производная и ее произведение со вторым членом в скобках обращается в нуль, так что

С этими обозначениями уравнение (53,6) примет вид

(53,11)

(аргументы в функции Q не выписываем). Его решение:

или, после замены переменной интегрирования

Постоянная С определяется требованием, чтобы функция была периодична по с периодом Поскольку подынтегральная функция (как и множитель перед интегралом) периодична по поставленное требование удовлетворится, если пределы интегрирования не будут зависеть от ; для этого надо положить или

Выбор между этими двумя возможностями определяется правилом обхода Ландау (29,6): интегрирование должно производиться при такой интеграл сходится лишь при Окончательно имеем

(53,12)

В пределе это выражение должно переходить в (29,2). Для выполнения предельного перехода замечаем, что при в интеграле существенна область . Тогда и интеграл принимает вид

Взяв интеграл при , получим

что и требовалось.

Если частота поля совпадает с ларморовой частотой или кратна ей, то говорят о простом или кратном циклотронном резонансе (электронов). Для исследования диэлектрических свойств плазмы вблизи таких резонансов удобен другой способ решения уравнения (53,11), основанный на разложении искомой функции в ряд Фурье по переменной

Произведя в (53,11) замену

(53,14)

получим для функции g уравнение

Его решение ищем в виде ряда Фурье

(53,15)

и для коэффициентов находим

(53,16)

Разложение (53,15) автоматически обеспечивает периодичность функции по

Отметим прежде всего, что выражение в виде ряда (53,14- 15) позволяет сразу сформулировать условия допустимости пренебрежения пространственной дисперсией. Волновой вектор входит в члены ряда через параметры

Диэлектрическая проницаемость плазмы определяется функцией распределения при скоростях Волновой вектор выпадает из этой функции, если

(53,17)

Первое из неравенств (53,17) и второе с совпадают с условиями (52,17). Мы видим, что помимо этих условий требуется еще, чтобы частота со не лежала слишком близко к какому-либо из циклотронных резонансов.

В окрестности циклотронных резонансов функция распределения может выражаться, при выполнении определенных условий, всего одним членом ряда Фурье. Именно, должно быть

(53,18)

где — какое-либо из чисел Легко видеть, что при этом член в разложении (53,15) велик по сравнению с остальными. Действительно,

между тем как для будет (так как ). Ограничившись этим одним членом, получим для функции распределения электронов:

Зависимость функции распределения от угла этой формулой определяется в явном виде. В частности, при распределение вообще не зависит от Происхождение этого свойства очевидно из условия с : частота ларморова вращения велика по сравнению с частотой изменения поля, что и приводит к «усреднению» функции распределения по углу вращения.