Задача

Выяснить характер неустойчивости низкочастотных () «медленных» поперечных электромагнитных волн, распространяющихся в направлении постоянного магнитного поля в холодной магнитоактивной плазме; вдоль того же направления через плазму движется холодный пучок электронов малой плотности.

Решение. Для составления дисперсионного уравнения пишем его сначала с учетом лишь электронов пучка в системе отсчета, где пучок покоится. Согласно (56,9) имеем в этой системе;

где — плазменная частота, отвечающая плотности пучка. При возвращении к лабораторной системе отсчета, в которой пучок движется со скоростью V (вдоль которой направляем ось ), в правой стороне равенства надо заменить разность же инвариантна по отношению к изменению системы отсчета.

Рис. 24.

Рис. 25.

Добавив теперь в лабораторной системе члены, связанные с электронами и ионами плазмы, получим

Пренебрегая здесь (в соответствии с условиями задачи) по сравнению с и заметив также, что приведем дисперсионное уравнение к виду

Первый множитель в левой стороне отвечает «основной», а второй — пучковой ветви спектра колебаний; правая сторона описывает «взаимодействие» этих ветвей.

При верхних знаках в (1) законы дисперсии двух независимых ветвей показаны на рис. 24 сплошными линиями (как всегда, достаточно рассматривать лишь ветви с Вблизи точки их пересечения разложение уравнения (1) имеет вид

с положительным (как это ясно из наклона кривых на рис. 24) коэффициентом Сравнение с (64,3) показывает, что имеет место случай В — конвективная неустойчивость (на рис. 24 пунктиром показан ход ветвей спектра с учетом их взаимодействия).

Аналогичные графики при нижних знаках в (1) показаны на рис. 25. Вблизи точки пересечения дисперсионное уравнение имеет вид

где снова Теперь имеет место случай Г — абсолютная неустойчивость (имеющееся в этом случае второе пересечение происходит, как видно из рисунка, при сосоде, что противоречит условиям задачи).