§ 79. Электрон-фононное взаимодействие

В достаточно чистых металлах основным механизмом установления равновесия в широком диапазоне температур является взаимодействие электронов проводимости с фононами.

Условие возможности испускания (или поглощения) фонона электроном требует, чтобы скорость электрона превосходила скорость фонона — ср. аналогичный вывод в § 68 для испускания фонона фононом.

Но скорость электронов у ферми-поверхности обычно велика по сравнению со скоростью фононов, так что это условие выполнено и основной вклад в электрон-фононный интеграл столкновений вносят именно указанные «однофононные» процессы.

С учетом этих процессов интеграл столкновений имеет следующий вид, аналогичный фонон-фононному интегралу (67,6):

Первый член отвечает процессам испускания фонона с квазиимпульсом к электроном с заданным квазиимпульсом и обратным процессам поглощения фонона к электронами с восстановлением квазиимпульса :

(79,2а)

в этих процессах переходы осуществляются между электронным состоянием с заданной энергией и нижележащими (по энергии) состояниями. Второй же член отвечает процессам поглощения фонона электроном и обратным процессам его испускания электронами :

(79,26б

в этих процессах переходы осуществляются между заданным и вышележащими электронными состояниями. По тем же причинам, что и для испускания фонона фононом в § 66, значение b в равенствах (79,2) однозначно определяется заданием значений и требованием, чтобы оказалось в той же выбранной ячейке обратной решетки, - функционные множители в (79,1) выражают закон сохранения энергии; — энергии электронов, — энергии фононов. Как и в главе VII, функция распределения (числа заполнения состояний) фононов обозначена через функция же распределения электронов обозначается посредством пр. Индексы, указывающие ветвь фононного спектра (и знаки суммирования по ним), мы для краткости не выписываем. Предполагается, что вероятности переходов не зависят от спина электрона, не меняющегося при переходе.

Аналогичным образом записывается фонон-электронный интеграл столкновений, который должен быть добавлен к фонон-фононному интегралу в правой части кинетического уравнения для функции распределения фононов:

причем Этот интеграл — разность между числом фононов к, испускаемых электронами со всеми возможными квазиимпульсами , и числом фононов, поглощаемых электронами со всеми возможными . Множитель 2 учитывает два возможных направления спина излучающего (или поглощающего) электрона.

В первом порядке теории возмущений фигурирующие в этих интегралах вероятности испускания и поглощения фонона электроном определяются оператором электрон-фононного взаимодействия, линейным по фононным операторам (66,2); линейность отвечает тому, что эти операторы ответственны за переходы с изменением на 1 всего одного из чисел заполнения фононных состояний. Не повторяя вновь изложенных в § 66 рассуждений, укажем, что в пределе стремящегося к нулю квазиимпульса фонона к вероятность испускания (или поглощения) фонона пропорциональна первой степени

Согласно общему свойству вероятностей перехода в борновском приближении, вероятности прямого и обратного переходов одинаковы; поэтому

Это свойство уже учтено в интегралах (79,1) и (79,3).

Дальнейшее упрощение достигается при учете симметрии (выраженной вещественностью операторов , с которой операторы рождения и уничтожения фононов входят в оператор электрон-фононного взаимодействия. В силу этой симметрии, испускание фонона с квазиимпульсом к эквивалентно поглощению фонона с квазиимпульсом — . Учтем также близость энергий электрона к фермиевской энергии Пусть и — векторы, проведенные в направлениях и оканчивающиеся на ферми-поверхности. Пусть функции w выражены в зависимости от направлений и разностей , характеризующих степень близости энергии электрона к

Относительно последних переменных w является медленной функцией, заметно меняющейся лишь на интервалах Пренебрегая величинами , можно положить в этих функциях Тогда указанная выше эквивалентность выразится равенством

причем w являются функциями только от направлений Если теперь переобозначить во втором члене в (79,1) переменную интегрирования то коэффициенты в обоих интегралах станут одинаковыми; поскольку то переобозначение приводит лишь к замене на

Интегралы (79,1) и (79,3) обращаются, конечно, в нуль равновесными функциями распределения электронов и фононов. Линеаризация этих интегралов при малых отклонениях от равновесия производится одновременно по обеим функциям распределения, которые представляем в виде

Преобразование производится вполне аналогично тому, как это делалось в § 67 и § 74. Так, выражение в фигурных скобках в первом члене в (79,1), переписанное как

приводится к виду

Это выражение целесообразно преобразовать дальше, воспользовавшись равенством

которое легко проверить прямым вычислением. Тогда получим

Таким же образом преобразуются остальные члены, и в результате получим следующие линеаризованные интегралы столкновений:

(79,10)

причем в обоих

Эти интегралы естественным образом разбиваются на две части — линейные интегральные операторы, действующие соответственно на функции Так,

(79,11)

Отметим важное свойство оператора он не меняет четности функции по переменной т. е. оставляет четную функцию четной и нечетную — нечетной. Действительно, в смысле своего воздействия на функцию от оператор имеет вид

где

Заметив, что

(79,12)

и поэтому

мы видим, что

откуда непосредственно следует указанное выше свойство оператора. Это свойство будет использовано в §§ 80, 82.

Интегралы столкновений (79,9-10) обращаются тождественно в нуль функциями

(79,13)

(с одинаковыми коэффициентами ). Это «паразитное» решение кинетического уравнения соответствует (как и решение (67,18) в фонон-фононном уравнении) изменению температуры системы на малую постоянную величину.

Но интегралы (79,9-10) обращаются в нуль также и постоянной

(79,14)

при . Это решение связано с постоянством полного числа электронов (в отличие от полного числа фононов); с формальной точки зрения оно отвечает изменению химического потенциала электронов на малую постоянную величину.

Для дальнейших количественных оценок напомним, что порядки величины параметров электронного спектра в металле выражаются лишь через постоянную решетки d и эффективную массу электрона ; так, фермиевский импульс (обычные единицы) скорость энергия Параметры фононного спектра и электрон-фононного взаимодействия содержат еще и массу атомов М. Плотность вещества а скорость звука и дополнив до нужной размерности с помощью величин (что можно сделать лишь одним способом), получим оценку

(79,15)

Отсюда дебаевская температура

(79,16)

В оператор же электрон-фононного взаимодействия масса М входит только через операторы смещения атомов никакой другой малости по это взаимодействие не содержит его энергия становится когда Матричные элементы операторов , а с ними и матричные элементы оператора электрон-фононного взаимодействия, заданном квазиимпульсе k частота Вероятность же рассеяния определяется квадратом матричного элемента. Поэтому функция w в интеграле столкновений пропорциональна или, дополнив до требуемой размерности,

(79,17)

Эту оценку надо изменить в случае, если речь идет об испускании или поглощении длинноволнового акустического фонона. Тот факт, что в таком случае w пропорциональна k, означает, что в оценку надо ввести дополнительный множитель

(79,18)