§ 18. Вириальное разложение кинетических коэффициентов

В §§ 7, 8 было уже указано, что независимость коэффициентов теплопроводности и вязкости от плотности (или давления) газа является следствием учета одних только парных столкновений молекул. Именно для таких столкновений их частота (т.е. число столкновений, испытываемых в 1 с заданной молекулой) пропорциональна плотности N, длина пробега а поскольку пропорциональны они оказываются независящими от N. Получающиеся таким образом значения (обозначим их ) являются, конечно, лишь первыми членами разложения этих величин по степеням плотности (эти разложения называют вириальными). Уже в следующем приближении появляется зависимость от плотности вида

где d — параметр порядка величины молекулярных размеров, а — безразмерные постоянные. Эти первые поправки имеют двоякое происхождение, отраженное в поправочных членах в кинетическом уравнении. Тройные столкновения (частота которых пропорциональна ) приводят к уменьшению длины пробега. Нелокальность же парных столкновений приводит к возможности передачи импульса и энергии через некоторую поверхность без ее фактического пересечения сталкивающимися частицами: частицы сближаются на расстояние и затем расходятся, оставаясь по разные стороны от поверхности; этот эффект приводит к увеличению потоков импульса и энергии.

Решение задачи о теплопроводности или вязкости с уточненным кинетическим уравнением (17,12) должно строиться по той же схеме, которая была описана в §§ 6—8. Ищем функцию распределения в виде где - локально-равновесная функция, а - малая добавка. Интеграл тройных столкновений как и обращается в нуль функцией . Поэтому в нем надо удержать член с к, в результате чего интеграл оказывается по отношению к больцмановскому интегралу поправкой относительного порядка . В интеграле же содержащем пространственные производные функции распределения, достаточно положить , в этом смысле член должен быть отнесен к левой стороне уравнения, в которой он дает поправку того же относительного порядка . Таким образом, оба дополнительных члена в кинетическом уравнении, дают вклады одинакового порядка.

Приведем здесь, для справок, результаты решения уточненного кинетического уравнения для теплопроводности и вязкости газа в модели твердых шаров (диаметра ):

где и - значения, полученные в задаче 3 § 10 (J. V. Sengers, 1966).

Вводя дальнейшие поправки в кинетическое уравнение (связанное с четверными и т. д. столкновениями), можно было бы в принципе определить и следующие члены вириального разложения кинетических коэффициентов. Существенно, однако, что эти члены уже не будут просто целыми степенями N; функции и оказываются неаналитическими в точке . Для выяснения происхождения этой неаналитичности проанализируем вопрос о сходимости интегралов, фигурирующих в излагаемой теории (Е. С. Cohen, J. R. Dorfman, J. Weinstock, 1963).

Рассмотрим интеграл в (17,10), определяющий вклад тройных столкновений в двухчастичную функцию распределения. Характер сходимости интеграла оказывается различным для различных типов процессов столкновений, учитываемых оператором . Рассмотрим для примера процесс типа рис. 5, б.

Интегрирование производится по фазовому объему при заданных фазовых точках и .

В качестве переменной, по которой интегрирование производится последним, оставим расстояние частицы 3 (в момент времени t) от точки, где произошло столкновение 2—3. Перед этим последним интегрированием подынтегральное выражение будет содержать следующие множители: 1) элемент объема по переменной если следить за движением частицы 3 назад по времени, то будет ясно, что направление ее импульса должно лежать в определенном элементе телесных углов для того, чтобы могло произойти столкновение 3-2 - угол, под которым область соударения видна с расстояния отсюда возникает множитель

3) еще один такой множитель возникает в результате дальнейшего ограничения возможных направлений импульса требуемого условием, что «отскочившая» частица 2 должна попасть в сферу соударения с частицей 1. Таким образом, получается интеграл вида который должен быть взят от расстояния до мы видим, что этот интеграл сходится. Аналогичным образом можно показать, что для процессов столкновения других типов сходимость интеграла оказывается даже более быстрой.

Вклад четверных столкновений выразился бы в (17,10) интегралом аналогичного вида, взятым по фазовому пространству частиц 3 и 4 (снова при заданных и ).

Рис. 6.

Рассмотрим четверное соударение изображенного на рис. 6 типа. Оставим в качестве последней переменной интегрирования расстояние от частицы 4 (в момент t) до точки соударения 4—3. Отличие от предыдущей оценки связано с тем, что фазовая точка (в момент t) не задана в отличие от точки та в интеграле, отвечающем рис. 5, б. Поэтому оказывается незакрепленным также и место столкновения 4—3, которое может находиться где-либо в цилиндрической области с диаметром и осью вдоль (пунктир на рис. 6). Соответственно телесный угол, под которым видна эта область с расстояния будет (вместо в предыдущем случае). В результате интеграл окажется вида , т. е. логарифмически расходится на верхнем пределе. Обрезая интеграл на некотором расстоянии , получим вклад в функцию содержащий большой логарифм Этот логарифм войдет соответственно и в поправку к кинетическим коэффициентам, которая окажется пропорциональной не .

Появление расходящихся членов означает, что четверные столкновения нельзя рассматривать отдельно от столкновений всех более высоких порядков (пятерных и т. д.). Действительно, расходимость показывает, что существенны большие Но уже при частица 4 может столкнуться с какой-либо частицей , и т. д. Отсюда становится ясным путь устранения расходимости: в выражении для функции надо учесть члены со столкновениями всех порядков, оставив в каждом порядке наиболее быстро расходящиеся интегралы. Такое суммирование может быть произведено и приводит к результату, который можно было ожидать: произвольный большой параметр под знаком логарифма заменяется на величину порядка длины пробега

Таким образом, разложение кинетических коэффициентов имеет вид

(и аналогично для ).