ГЛАВА XI. СВЕРХПРОВОДНИКИ

§ 96. Высокочастотные свойства сверхпроводников. Общая формула

В IX, § 51, были получены формулы, связывающие ток в сверхпроводнике с векторным потенциалом электромагнитного поля в нем. Здесь эти формулы будут обобщены на случай переменного во времени поля. Как и в IX, мы будем исследовать этот вопрос в рамках модели БКШ, рассматривая электроны в металле как изотропный газ со слабым притяжением между частицами.

Как всегда в металлах (и тем более в сверхпроводниках), в уравнениях Максвелла можно пренебречь током смещения, т. е. писать

Отсюда следует, что в этом приближении

Для описания поля выберем калибровку, в которой скалярный потенциал Линейную связь между компонентами фурье - разложений (по времени и по координатам) плотности тока и векторного потенциала поля напишем в виде

тождественно удовлетворяющем уравнению (96,2), т. е. условию Продольная (вдоль k) часть вектора А выпадает из соотношения (96,3), а потому и вообще из уравнений, так что ее можно положить равной нулю, т. е. считать, что . При таком выборе А связь между током и полем сводится к

Наша цель состоит в вычислении функции . Эта величина относится к категории обобщенных восприимчивостей, и для решения задачи воспользуемся изложенным в § 91 методом.

Следуя этому методу, формальным образом вводим в гамильтониан сверхпроводника «векторный потенциал», зависящий от мацубаровской переменной (и от координат):

С помощью уравнений Горькова вычисляем линейную по А поправку к мацубаровской гриновской функции:

в силу «однородности по и пространственной однородности невозмущенного сверхпроводника, зависит только от разностей своих аргументов. Плотность тока выражается через гриновскую функцию согласно

где N — плотность числа частиц. С полем (96,5) это соотношение фактически будет иметь вид

Коэффициент QM в нем есть мацубаровская восприимчивость, и согласно (91,18)

Для определения искомой функции надо будет произвести аналитическое продолжение с точек на всю верхнюю полуплоскость.

Ход вычисления QM вполне аналогичен вычислениям в IX, § 51. Напомним, что в калибровке потенциалов с поправка к щели А в энергетическом спектре отсутствует, а линеаризованные уравнения Горькова для гриновских функций имеют вид

(96,10)

При поле вида (96,5) можно сразу отделить зависимость от сумм , положив

(96,11)

и аналогично для с функцией f вместо g. Так, после этой замены первое из уравнений (96,10) принимает вид

Разложим теперь все величины в ряды Фурье по и интегралы — по

и т. д. В результате получим для фурье-компонент систему двух алгебраических уравнений:

(96,13)

«Невозмущенные» гриновские функции ферми-системы разлагаются в ряды Фурье с «нечетными частотами»: . Поэтому из (96,13) следует, что «частоты» пробегают значения

Функции даются выражениями (см. IX, (42,7 — 8))

где

(96,15)

(постоянную считаем вещественной).

Используя эти формулы, легко привести решение системы (96,13) к виду

(96,16)

где

Используя (96,7), (96,11—12), получим для плотности тока:

с функцией g из (96,16). Учитывая поперечность векторов j и А по отношению к , производим под знаком интеграла усреднение по направлениям вектора в плоскости, перпендикулярной k. Функции в (96,16) от направления не зависят; усреднение же множителя превращает его в , где - угол между и k. В результате находим следующее окончательное выражение для мацубаровской восприимчивости:

(96,18)

Займемся теперь аналитическим продолжением этой функции с дискретного ряда точек на всю правую полуплоскость комплексной переменной (т. е. на верхнюю полуплоскость переменной ). Задача сводится к аналитическому продолжению подынтегрального выражения интеграла по рассмотрим, например, первый член в нем:

(96,19)

(для краткости обозначений опускаем индекс (0), а аргументы заменяем индексами ±). Это выражение может быть представлено в виде интеграла

(96,20)

взятого по трем замкнутым контурам (рис. 32), которые в общей сложности охватывают всю бесконечную совокупность полюсов множителя которые он имеет в точках (точки на рисунке); вычеты подынтегрального выражения в каждом из этих полюсов дают соответствующие члены в сумме (96,19) (на бесконечности так что интеграл сходится).

Рис. 32.

Рис. 33.

В выборе контуров учтено, что функция аналитична в каждой из двух полуплоскостей:

где — аналитические функции (запаздывающая и опережающая функции Грина — см. IX, § 37); мнимая же ось z является, вообще говоря, разрезом для функции .

Развернем теперь контуры так, чтобы они проходили вертикально по обоим берегам линий разрезов (рис. 33; бесконечно удаленные замыкающие участки контуров не показаны). На паре линий заменяем переменную интегрирования, положив , а на паре полагаем . Тогда при имеем

(96,21)

При выводе этого выражения значение , было еще фиксировано: Но для таких значений

После такой замены аналитичность выражения (96,21) при всех очевидна ввиду аналитичности функций в соответствующих полуплоскостях.

Полагая теперь имеем для уже аналитически продолженного выражения:

(96,22)

Таким же способом производится продолжение второго члена в подынтегральном выражении в (96,18) и приводит к результату, отличающемуся от (96,22) лишь заменой функций на Все эти функции даются следующими выражениями (см. IX, § 41):

где

Функции же отличаются от лишь знаком перед . Поэтому

и интегрирование в (96,22) сводится к устранению -функций.

После ряда простых, но довольно громоздких алгебраических преобразований получается следующее окончательное выражение 3):

где

(96,25)

Два члена в фигурных скобках в (96,24) имеют существенно различное происхождение и смысл. Первый из них нечетен по ; поэтому при Т = 0 (когда множитель ) интеграл от этого члена обращается в нуль. Эта часть Q связана с бесстолкновительной динамикой элементарных возбуждений. Ее мнимая часть, существующая при всех и к, связана с бесстолкновительным затуханием Ландау.

Интеграл же от второго члена остается отличным от нуля и при Эта часть Q связана с рождением или разрывом куперовских пар. Полюсы подынтегрального выражения в этой части лежат при для их существования (а тем самым и для возникновения диссипации мнимой части Q) частота должна превышать -энергию связи куперовской пары.