Главная > Теоретическая физика. Т. X. Физическая кинетика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА XI. СВЕРХПРОВОДНИКИ

§ 96. Высокочастотные свойства сверхпроводников. Общая формула

В IX, § 51, были получены формулы, связывающие ток в сверхпроводнике с векторным потенциалом электромагнитного поля в нем. Здесь эти формулы будут обобщены на случай переменного во времени поля. Как и в IX, мы будем исследовать этот вопрос в рамках модели БКШ, рассматривая электроны в металле как изотропный газ со слабым притяжением между частицами.

Как всегда в металлах (и тем более в сверхпроводниках), в уравнениях Максвелла можно пренебречь током смещения, т. е. писать

Отсюда следует, что в этом приближении

Для описания поля выберем калибровку, в которой скалярный потенциал Линейную связь между компонентами фурье - разложений (по времени и по координатам) плотности тока и векторного потенциала поля напишем в виде

тождественно удовлетворяющем уравнению (96,2), т. е. условию Продольная (вдоль k) часть вектора А выпадает из соотношения (96,3), а потому и вообще из уравнений, так что ее можно положить равной нулю, т. е. считать, что . При таком выборе А связь между током и полем сводится к

Наша цель состоит в вычислении функции . Эта величина относится к категории обобщенных восприимчивостей, и для решения задачи воспользуемся изложенным в § 91 методом.

Следуя этому методу, формальным образом вводим в гамильтониан сверхпроводника «векторный потенциал», зависящий от мацубаровской переменной (и от координат):

С помощью уравнений Горькова вычисляем линейную по А поправку к мацубаровской гриновской функции:

в силу «однородности по и пространственной однородности невозмущенного сверхпроводника, зависит только от разностей своих аргументов. Плотность тока выражается через гриновскую функцию согласно

где N — плотность числа частиц. С полем (96,5) это соотношение фактически будет иметь вид

Коэффициент QM в нем есть мацубаровская восприимчивость, и согласно (91,18)

Для определения искомой функции надо будет произвести аналитическое продолжение с точек на всю верхнюю полуплоскость.

Ход вычисления QM вполне аналогичен вычислениям в IX, § 51. Напомним, что в калибровке потенциалов с поправка к щели А в энергетическом спектре отсутствует, а линеаризованные уравнения Горькова для гриновских функций имеют вид

(96,10)

При поле вида (96,5) можно сразу отделить зависимость от сумм , положив

(96,11)

и аналогично для с функцией f вместо g. Так, после этой замены первое из уравнений (96,10) принимает вид

Разложим теперь все величины в ряды Фурье по и интегралы — по

и т. д. В результате получим для фурье-компонент систему двух алгебраических уравнений:

(96,13)

«Невозмущенные» гриновские функции ферми-системы разлагаются в ряды Фурье с «нечетными частотами»: . Поэтому из (96,13) следует, что «частоты» пробегают значения

Функции даются выражениями (см. IX, (42,7 — 8))

где

(96,15)

(постоянную считаем вещественной).

Используя эти формулы, легко привести решение системы (96,13) к виду

(96,16)

где

Используя (96,7), (96,11—12), получим для плотности тока:

с функцией g из (96,16). Учитывая поперечность векторов j и А по отношению к , производим под знаком интеграла усреднение по направлениям вектора в плоскости, перпендикулярной k. Функции в (96,16) от направления не зависят; усреднение же множителя превращает его в , где - угол между и k. В результате находим следующее окончательное выражение для мацубаровской восприимчивости:

(96,18)

Займемся теперь аналитическим продолжением этой функции с дискретного ряда точек на всю правую полуплоскость комплексной переменной (т. е. на верхнюю полуплоскость переменной ). Задача сводится к аналитическому продолжению подынтегрального выражения интеграла по рассмотрим, например, первый член в нем:

(96,19)

(для краткости обозначений опускаем индекс (0), а аргументы заменяем индексами ±). Это выражение может быть представлено в виде интеграла

(96,20)

взятого по трем замкнутым контурам (рис. 32), которые в общей сложности охватывают всю бесконечную совокупность полюсов множителя которые он имеет в точках (точки на рисунке); вычеты подынтегрального выражения в каждом из этих полюсов дают соответствующие члены в сумме (96,19) (на бесконечности так что интеграл сходится).

Рис. 32.

Рис. 33.

В выборе контуров учтено, что функция аналитична в каждой из двух полуплоскостей:

где — аналитические функции (запаздывающая и опережающая функции Грина — см. IX, § 37); мнимая же ось z является, вообще говоря, разрезом для функции .

Развернем теперь контуры так, чтобы они проходили вертикально по обоим берегам линий разрезов (рис. 33; бесконечно удаленные замыкающие участки контуров не показаны). На паре линий заменяем переменную интегрирования, положив , а на паре полагаем . Тогда при имеем

(96,21)

При выводе этого выражения значение , было еще фиксировано: Но для таких значений

После такой замены аналитичность выражения (96,21) при всех очевидна ввиду аналитичности функций в соответствующих полуплоскостях.

Полагая теперь имеем для уже аналитически продолженного выражения:

(96,22)

Таким же способом производится продолжение второго члена в подынтегральном выражении в (96,18) и приводит к результату, отличающемуся от (96,22) лишь заменой функций на Все эти функции даются следующими выражениями (см. IX, § 41):

где

Функции же отличаются от лишь знаком перед . Поэтому

и интегрирование в (96,22) сводится к устранению -функций.

После ряда простых, но довольно громоздких алгебраических преобразований получается следующее окончательное выражение 3):

где

(96,25)

Два члена в фигурных скобках в (96,24) имеют существенно различное происхождение и смысл. Первый из них нечетен по ; поэтому при Т = 0 (когда множитель ) интеграл от этого члена обращается в нуль. Эта часть Q связана с бесстолкновительной динамикой элементарных возбуждений. Ее мнимая часть, существующая при всех и к, связана с бесстолкновительным затуханием Ландау.

Интеграл же от второго члена остается отличным от нуля и при Эта часть Q связана с рождением или разрывом куперовских пар. Полюсы подынтегрального выражения в этой части лежат при для их существования (а тем самым и для возникновения диссипации мнимой части Q) частота должна превышать -энергию связи куперовской пары.

1
Оглавление
email@scask.ru