§ 45. Убегающие электроны

Быстрое убывание кулоновского сечения с увеличением скорости сталкивающихся частиц приводит, как мы увидим, к тому, что уже в сколь угодно слабом электрическом поле функция распределения достаточно быстрых электронов в плазме оказывается сильно искаженной.

Двигаясь с тепловой скоростью V, за время своего свободного пробега электрон в электрическом поле Е приобретает упорядоченную скорость

(сечение из (41,7)). Уже при , где

становится , а при длина и время пробега определяются уже скоростью V. Импульс, приобретаемый электроном за время пробега, будет при этом

Импульс же, отдаваемый электроном при столкновении в конце пробега, . Отсюда видно, что электроны с достаточно большими скоростями будут неограниченно ускоряться; такие электроны называют убегающими. При условии это явление будет наблюдаться лишь в «хвосте» максвелловского распределения; электрическое поле должно для этого удовлетворять условию

В этих условиях задачу об убегающих электронах можно решать как стационарную. Основная масса электронов, распределенных по Максвеллу, играет роль большого резервуара, из которого «течет» стационарный малый поток в сторону больших энергий.

Уже из происхождения убегающих электронов как результата направленного ускорения их электрическим полем очевидно, что они движутся в основном под малыми углами к направлению поля. Если, однако, поставить себе целью вычисление лишь величины потока убегающих электронов, полное определение функции их распределения не требуется; достаточно определить усредненное по углам распределение по энергиям.

Кинетическое уравнение для распределения электронов по импульсам в электрическом поле имеет вид

(45,3)

где - плотность столкновительного потока в импульсном пространстве. В сферических координатах в импульсном пространстве (с полярной осью вдоль силы — ) имеем

Дивергенция же потока

Усредним уравнение (45,3) по углам, т. е. умножим его на и проинтегрируем. Все члены с производными при этом выпадают; множитель же можно, в первом приближении, заменить единицей. В результате для усредненной функции получим уравнение

В нем остается лишь радиальная компонента плотности потока в импульсном пространстве. Эта компонента связана с передачей энергии при столкновениях; вклад -столкновений в нее, очевидно, мал по сравнению с вкладом -столкновений.

Поскольку убегающие электроны составляют лишь очень малую долю всех электронов, при вычислении потока надо учитывать их столкновения лишь с основной массой максвелловских электронов (а не друг с другом); скорости последних малы по сравнению со скоростями убегающих электронов. В этих условиях нет необходимости заново вычислять поток Для него можно написать выражение

непосредственно по аналогии с ранее выведенной формулой (22,5); здесь — частота кулоновских столкновений быстрых электронов с медленными (ср. (44,3)).

Поскольку выражение (45,5) относится к электронам со скоростями то и для кулоновского логарифма полагаем

Величина

представляет собой, как это ясно из вида уравнения (45,4), полную (от столкновений и от действия поля) плотность радиального потока в импульсном пространстве. Согласно сказанному выше, распределение убегающих электронов можно искать как стационарное, т. е. пренебрегая производной по времени в кинетическом уравнении (45,4). Тогда

(45,8)

Это равенство (с из (45,5)) представляет собой дифференциальное уравнение, определяющее функцию распределения J. Постоянная же дает искомую величину — полное число убегающих (в единицу времени в единице объема) электронов.

Введем безразмерную переменную и и безразмерную постоянную 6 согласно определению

Тогда уравнение (45,8) принимает вид

(постоянная С отличается от постоянным множителем). Поскольку предполагается, что поле то параметр эта величина играет в рассматриваемой задаче роль малого параметра, характеризующего степень приближения.

Решение уравнения (45,10):

(45,11)

где

— решение однородного уравнения. Нормировочный множитель в F определен из условия, чтобы при функция J переходила в максвелловское распределение

При и функция F неограниченно возрастает, между тем как должна оставаться конечной. Отсюда получаем условие при , из которого определяется постоянная С:

Интеграл вычисляется методом перевала путем разложения показателя экспоненты вблизи точки его максимума, Таким образом, получается следующий закон зависимости числа убегающих электронов от напряженности поля Е:

(45,14)

Предэкспоненциальный множитель написан здесь лишь по размерности; более точное вычисление лежит вне рассмотренного приближения и требует решения кинетического уравнения с самого начала с большей точностью.