ГЛАВА II. ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

§ 21. Уравнение Фоккера—Планка

Значительную категорию кинетических явлений составляют процессы, в которых средние изменения величин (от которых зависит функция распределения) в каждом элементарном акте малы по сравнению с их характерными значениями. Времена релаксации таких процессов велики по сравнению с временами элементарных актов, составляющих их микроскопический механизм; в этом смысле такие процессы можно назвать медленными.

Типичный пример такого рода дает задача о релаксации по импульсам небольшой примеси тяжелого газа в легком (который сам по себе предполагается находящимся в равновесии). Ввиду малой концентрации тяжелых частиц, их столкновениями друг с другом можно пренебречь и рассматривать их столкновения лишь с частицами основного (легкого) газа. Но при столкновении тяжелой частицы с легкими ее импульс испытывает лишь относительно малое изменение.

Будем для определенности говорить именно об этом примере и выведем кинетическое уравнение, которому удовлетворяет в таком случае функция распределения частиц примеси по импульсам, .

Обозначим через отнесенную к единице времени вероятность изменения импульса тяжелой частицы при элементарном акте ее столкновении с легкой частицей. Тогда кинетическое уравнение для функции запишется в виде

где справа стоит разность между числом частиц, поступающих (в 1 с) в заданный элемент импульсного пространства и покидающих его за то же время. Согласно сделанным предположениям, функция быстро убывает с увеличением q, так что основную роль в интеграле играют значения q, малые по сравнению со средним импульсом частиц. Это обстоятельство позволяет произвести в подынтегральном выражении разложение

В результате кинетическое уравнение примет вид

где

(21,3)

Таким образом, кинетическое уравнение из интегро-дифференциального становится дифференциальным. Величины можно записать в символическом виде, более ясно выражающем их смысл:

где знаки 2 означают суммирование по (большому) числу столкновений, происходящих за время

Выражение в правой стороне (21,2) имеет вид дивергенции в импульсном пространстве, , от вектора

(21,5)

Другими словами, (21,2) имеет, как и следовало, вид уравнения непрерывности в импульсном пространстве; тем самым автоматически соблюдается сохранение числа частиц при процессе. Вектор же s является плотностью потока частиц в импульсном пространстве.

Согласно формулам (21,4), коэффициенты в кинетическом уравнении выражаются через средние характеристики столкновений, и в этом смысле их вычисление представляет собой механическую задачу. Фактически, однако, нет необходимости в раздельном вычислении коэффициентов они могут быть выражены друг через друга из условия обращения потока в нуль в статистическом равновесии. В данном случае равновесная функция распределения есть

где М — масса частиц тяжелого газа, а Т — температура основного (легкого) газа. Подстановка этого выражения в уравнение s = 0 дает

(21,6)

Таким образом, кинетическое уравнение принимает вид

Отметим, что коэффициенты в двух первых членах разложения интеграла столкновений оказываются одинакового порядка величины; это связано с тем, что усреднение первых степеней знакопеременных величин в (21,4) связано с большим погашением, чем при усреднении квадратичных выражений. Дальнейшие же члены разложения будут уже все малы по сравнению с двумя первыми.

Единственный вектор, от которого могут зависеть коэффициенты импульс тяжелых частиц . Но если скорости этих частиц, в среднем малы по сравнению со скоростями легких частиц, то при столкновениях их можно считать неподвижными; в этом приближении величины не будут зависеть от . Другими словами, тензор Бар сведется к постоянному скаляру В:

а уравнение (21,7) примет вид

Обратим внимание на формальное сходство уравнения (21,7) с уравнением диффузии во внешнем поле, в особенности наглядное в записи (21,9). Напомним, что уравнение диффузии имеет вид

где с — концентрация примеси, F - сила, действующая на частицу примеси со стороны внешнего поля, D — коэффициент диффузии, b - подвижность. Описываемые уравнением (21,9) процессы можно назвать диффузией в импульсном пространстве, причем В играет роль коэффициента диффузии; связь между коэффициентами при обоих членах в правой стороне (21,9) аналогична известному соотношению Эйнштейна между коэффициентом диффузии и подвижностью: (см. VI, § 59).

Кинетическое уравнение вида (21,2), в котором коэффициенты определены через усредненные характеристики элементарных актов согласно (21,4), называют уравнением Фоккера—Планка (А. D. Fokker, 1914; М. Planck, 1917). Специфические свойства переменных как импульсов частиц в изложенном выводе не играли роли. Ясно поэтому, что уравнение такого же типа будет справедливо и для функций распределения f по другим переменным, если только выполнены условия, лежащие в основе вывода: относительная малость изменения величин в элементарных актах и линейность по f интегрального оператора, выражающего изменение функции благодаря этим актам.

Упомянем, для примера, еще случай, когда легкий газ составляет небольшую примесь к тяжелому газу. При столкновениях с тяжелыми частицами импульс легкой частицы сильно меняется по направлению, но лишь незначительно по абсолютной величине. Хотя для функции распределения частиц примесного газа по вектору импульса уравнение (21,7) в этих условиях будет уже неприменимо, аналогичное уравнение можно установить для распределения по одной лишь абсолютной величине р. Если функция распределения по-прежнему отнесена к элементу импульсного пространства (так что число частиц с величиной в интервале есть ), то уравнение Фоккера—Планка будет иметь место для функции , отнесенной к элементу dp

или

где

(21,11)

Выражение в фигурных скобках представляет собой радиальный поток s в импульсном пространстве. Он должен обращаться в нуль равновесным распределением

(где — масса легкой частицы, а Т — температура основного, тяжелого газа). Это условие связывает величины А и В, и в результате кинетическое уравнение (21,10) принимает вид

(21.12)

Задачи

1. Определить коэффициент диффузии в импульсном пространстве (В в уравнении (21,9)) для примеси тяжелого газа в легком, предполагая скорости тяжелых частиц малыми по сравнению со скоростями легких.

Решение. Как указано в тексте, в данных условиях при вычислении передачи импульса можно считать тяжелую частицу неподвижной и пренебречь изменением ее энергии при столкновении. Изменение импульса тяжелой частицы вычисляется тогда как (совпадающее с ним) изменение импульса легкой частицы: , где — величина импульса легкой частицы, а — угол его поворота при рассеянии. Отсюда

(где плотность числа частиц легкого газа) и окончательно

где - транспортное сечение, а усреднение производится по распределению частиц легкого газа.

2. С помощью уравнения Фоккера — Планка определить подвижность тяжелой частицы в легком газе.

Решение. При наличии внешнего поля в левой стороне уравнения (21,9) добавляется член где - сила, действующая на частицу. Предполагая эту силу малой, ищем стационарное решение уравнения в виде где — максвелловское распределение, а . Для находим уравнение

Отсюда

и затем Подвижность b есть коэффициент в равенстве

Вычисление интеграла дает

в согласии с (12,4).