§ 76. Поглощение звука в ферми-жидкости

Напомним (см. IX, § 4), что характер распространяющихся в ферми-жидкости волн существенно зависит от величины произведения , где — время свободного пробега.

При мы имеем дело с обычными гидродинамическими звуковыми волнами. Частотную и температурную зависимости коэффициента у их поглощения (на единице пути) можно найти по известной формуле где - коэффициент вязкости, — плотность жидкости, — скорость звука (см. VI, § 77).

Поскольку в ферми-жидкости , то

Более формальным образом этот результат можно получить, заметив, что поглощение описывается первым по малому параметру поправочным членом в законе дисперсии звука:

(а — постоянная). Мнимая (при вещественной частоте) часть этого выражения и дает у: поскольку , мы возвращаемся к (76,1).

При поглощение становится очень сильным, так что распространение звуковых волн невозможно.

При снова становится возможным распространение слабо затухающих волн так называемый нулевой звук. Его поглощение описывается поправочным членом в законе дисперсии — на этот раз по малому параметру

(-скорость распространения нулевого звука). Коэффициент этого поглощения, следовательно, пропорционален частоте столкновений: у Последняя в свою очередь пропорциональна квадрату ширины области размытости распределения квазичастиц. При эта ширина определяется температурой, так что и коэффициент поглощения

Если же (но в то же время как обязательное условие применимости всей теории), то распределение размыто в области шириной — . В этом случае поглощение нулевого звука

К этому случаю относится, в частности, нулевой звук всех частот при . Ниже будет показано, что постоянные а и 6 в формулах (76,4-5) связаны между собой.

Разница в характере поглощения обычного и нулевого звуков связана с различием их физической природы. В волне обычного звука в каждом малом (по сравнению с длиной волны) элементе объема распределение квазичастиц, в первом приближении, отвечает равновесию при заданных локальных температуре и скорости жидкости. В этом приближении диссипация отсутствует и поглощение звука появляется лишь при учете влияния градиентов температуру и скорости на распред еление квазичастиц.

В волне же нулевого звука уже сами по себе колебания вызывают неравновесность функции распределения в каждом элементе объема и учет столкновений квазичастиц приводит к поглощению звука.

Согласно основным представлениям теории нормальной ферми-жидкости, квазичастицу в ней можно рассматривать, в известном смысле, как частицу, находящуюся в самосогласованном поле окружающих частиц. В волне нулевого звука это поле периодично во времени и в пространстве. Согласно общим правилам квантовой механики, столкновение двух квазичастиц в таком поле сопровождается изменением их суммарных энергий и импульса соответственно на и на можно сказать, что при столкновении происходит испускание или поглощение «кванта нулевого звука». Суммарный эффект таких столкновений приводит к убыванию общего числа звуковых квантов; коэффициент поглощения звука пропорционален скорости этого убывания.

При таком подходе к вопросу коэффициент поглощения нулевого звука дается выражением вида

В подынтегральном выражении выписаны в явном виде -функции, обеспечивающие выполнение законов сохранения энергии и импульса при столкновениях. Первый член в фигурных скобках отвечает столкновениям с поглощением кванта, а второй член — столкновениям , с испусканием кванта. Функция W, связанная с вероятностью «радиационных» столкновений, определяется свойствами волны нулевого звука; саму эту волну можно рассматривать как распространяющуюся при (см. IX, § 4), и тогда W не зависит от температуры.

В знании функции W, однако, нет необходимости, если поставить себе целью лишь выражение коэффициента поглощения через его значение в предельном случае Для этого заметим, что в интеграле (76,6) существенны значения энергий квазичастиц лишь в области размытости распределения Ферми. В этой области сильно меняются в подынтегральном выражении лишь те множители, которые содержат функции .

Кроме того, следует учесть, что угловые интегралы в (76,6) практически не меняются при переходе от области к области Ввиду этого будет достаточно вычислить интеграл

взятый только по энергиям. Коэффициент же пропорциональности между зависит лишь от , но не от Т, так что его можно будет определить по предельному значению при

В интеграле (76,7) можно, конечно, пренебречь малым искажением функции распределения в волне, - т. е. положить

Введя обозначения

получим

Ввиду быстрой сходимости интеграла область интегрирования может быть распространена от до .

Для проведения интегрирования переходим к переменным где . Интегрирование по производится элементарно и дает

Для вычисления получившейся разности двух расходящихся интегралов вводим предварительно конечный нижний предел и пишем

Имея в виду перейти к пределу во втором из стоящих здесь интегралов пренебрегаем в знаменателе. Первый же переписываем следующим образом:

Произведя сокращения и переходя после этого к пределу получим окончательно

Коэффициент пропорциональности между у и определяется, как уже указано, требованием, чтобы при было из (76,4). Таким образом, находим

В частности, в пределе больших частот, отсюда получается

чем и устанавливается связь между коэффициентами в (76,4) и (76,5).