§ 10. Приближенное решение кинетического уравнения

Ввиду сложности закона взаимодействия молекул (в особенности многоатомных), определяющего функцию w в интеграле столкновений, уравнение Больцмана по существу не может быть даже записано для конкретных газов в точном виде. Но и при простых предположениях о характере молекулярного взаимодействия сложность математической структуры кинетического уравнения делает, вообще говоря, невозможным нахождение его решения в точном аналитическом виде; это относится даже к линеаризованному уравнению. В связи с этим в кинетической теории газов приобретают особое значение достаточно эффективные методы приближенного решения уравнения Больцмана. Изложим здесь идею такого метода в применении к одноатомному газу (S. Chapman, 1916).

Рассмотрим сначала задачу о теплопроводности. Для одноатомного газа теплоемкость и линеаризованное уравнение (7,3) принимает вид

(где ); линейный интегральный оператор определяется формулой

(соответствующей интегралу столкновений (3,9)), а равновесная функция распределения

Эффективный метод приближенного решения уравнения (10,1) основан на разложении искомых функций по полной системе взаимно ортогональных функций, в качестве которых особым удобством обладают так называемые полиномы Сонина (D. Burnett, 1935).

Эти функции определяются формулой

причем — произвольное, a s - целое положительное число или нуль. В частности,

Свойство ортогональности этих полиномов при заданном индексе t и различных индексах s:

Ищем решение уравнения (10,1) в виде разложения

Опустив в разложении член с мы тем самым автоматически удовлетворяем условию (7,4) (интеграл обращается в нуль в силу ортогональности полиномов с ). Выражение в скобках в левой стороне (10,1) есть полином так что уравнение принимает вид

Умножив его с обеих сторон на и проинтегрировав по , получим систему алгебраических уравнений

причем

(10,10)

где введены обозначения

Уравнение с (10,9) отсутствует, поскольку в силу сохранения импульса: . Коэффициент теплопроводности вычисляется подстановкой (10,7) в интеграл (7,7). Ввиду условия (7,4) этот интеграл (с ) можно представить в виде

и в результате находим

(10,12)

В простоте правой стороны уравнений (10,9) и выражения (10,12) проявляется преимущество разложения по полиномам Сонина.

Ход вычислений для задачи о вязкости вполне аналогичен. Ищем решение уравнения (8,6) в виде

(10,13)

Подстановка в (8,6) с последующим умножением этого уравнения на

и интегрированием по приводит к системе уравнений

где

(10,15)

Для коэффициента вязкости из (8,9) получается

(10,16)

Приближенное решение бесконечной системы уравнений (10,9) или (10,14) достигается сохранением в разложениях (10,7) или (10,13) лишь нескольких первых членов, т. е. искусственным обрывом системы. Сходимость процесса приближения при увеличении числа членов оказывается чрезвычайно быстрой: уже сохранение всего одного члена приводит, вообще говоря, к точности 1—2% в значении и или ).

Покажем, что приближенное решение линеаризованного кинетического уравнения для одноатомных газов, осуществляемое описанным способом, приводит к значениям кинетических коэффициентов, заведомо меньшим, чем дало бы точное решение этого уравнения.

Запишем кинетическое уравнение в символическом виде

(10,17)

(где функции g и - векторы в задаче о теплопроводности и тензоры второго ранга в задаче о вязкости). По функции g соответствующий кинетический коэффициент определяется как величина, пропорциональная интегралу

(10,18)

(см. § 9). Приближенная же функция g удовлетворяет не самому уравнению (10,17), а лишь интегральному соотношению

(10,19)

(как это очевидно из способа определения коэффициентов в разложениях ).

Высказанное выше утверждение непосредственно следует из «вариационного принципа», согласно которому решение уравнения (10,17) осуществляет максимум функционала (10,18) в классе функций, удовлетворяющих условию (10,19). В справедливости этого принципа легко убедиться, рассмотрев интеграл

где - решение уравнения (10,17), а — любая пробная функция, удовлетворяющая лишь условию (10,19). По общему свойству (9,13) оператора I этот интеграл положителен. Раскрыв в нем скобки, пишем

Поскольку для одноатомного газа принцип детального равновесия справедлив в форме (2,8), то оператор I обладает свойством самосопряженности . Поэтому интегралы от двух последних членов в фигурной скобке равны друг другу. Подставив затем имеем

Наконец, преобразовав интеграл от последнего члена с помощью условия (10,19), находим

что и требовалось доказать.

Упомянем о случае, представляющем интерес с формальной точки зрения, хотя он и не имеет прямого физического смысла. Это газ из частиц, взаимодействующих по закону Этот случай характерен тем, что сечение столкновений таких частиц (определенное по классической механике) обратно пропорционально их относительной скорости уотн, а потому фигурирующее в интеграле столкновений произведение оказывается зависящим только от угла рассеяния 0, но не от . В этом свойстве легко убедиться уже из соображений размерности. Действительно, сечение зависит всего от трех параметров: постоянной а, массы частиц и скорости . Из этих величин нельзя составить безразмерной комбинации и всего одну комбинацию с размерностью площади: ; ей и должно быть пропорционально сечение. Это свойство сечения приводит к существенному упрощению структуры интеграла столкновений, в результате чего оказывается возможным найти точные решения линеаризованных кинетических уравнений задач о теплопроводности и вязкости. Оказывается, что они даются просто первыми членами разложений (10,7) и (10,13).