Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 100. Кинетика фазовых переходов первого рода. Стадия коалесценцииПроведенное в предыдущем параграфе рассмотрение кинетики фазового перехода. относится только к его начальной стадии: общий объем всех зародышей новой фазы должен быть настолько мал, чтобы их возникновение и рост не отражались заметно на «степени метастабильности» основной фазы, и поэтому мог бы считаться постоянной величиной определяемый этой степенью критический размер зародышей. На этой стадии происходит флуктуационное образование зародышей новой фазы, а рост каждого из них не зависит от поведения остальных зародышей. Ниже мы будем говорить, для определенности, о процессе выпадения растворенного вещества из пересыщенного раствора; степенью метастабильности является в этом случае степень пересыщенности раствора. На поздней стадии, когда пересыщение раствора становится очень малым, характер процесса существенно меняется. Флуктуационное возникновение новых зародышей здесь практически исключено, поскольку критические размеры велики. Увеличение критических размеров, сопровождающее прогрессирующее падение степени пересыщения раствора, приводит к тому, что меньшие из уже имеющихся зерен новой фазы становятся подкритическими и вновь растворяются. Таким образом, определяющую роль на этой стадии приобретает процесс «поедания» мелких зерен крупными — рост более крупных зерен за счет растворения мелких (процесс коалесценции). Именно эта стадия и рассматривается ниже в этом параграфе. При этом предполагается, что начальная концентрация раствора настолько мала, что выпавшие зерна находятся далеко друг от друга, так что их непосредственным «взаимодействием» можно пренебречь. Мы будем рассматривать твердый раствор, в котором выпадающие зерна неподвижны и растут лишь за счет диффузии из окружающего раствора. Имея в виду лишь демонстрацию метода и основных качественных свойств процесса, сделаем также и некоторые другие упрощающие предположения: не будем учитывать упругих напряжений вокруг выпавших зерен и будем считать последние сферическими. Равновесная концентрация раствора у поверхности зерна с радиусом а дается термодинамической формулой
где
(
(с — средняя концентрация раствора). Отсюда диффузионный поток
где введен параметр
есть критический радиус: при
Далее, введем функцию распределения зерен по размерам,
есть число зерен в единице объема. Рассматривая
Наконец, сохранение полного количества растворенного вещества выражается уравнением
где Q — полное начальное пересыщение, Уравнения (100,3-5) составляют полную систему уравнений рассматриваемой задачи. Преобразуем их, введя более удобные для исследования переменные. Введем безразмерную величину
При
которую мы выберем в качестве новой временной переменной. В качестве же неизвестной функции в уравнении (100,3) введем отношение
В результате уравнение примет вид
где
Приступая к исследованию уравнений, покажем прежде всего, что при Правая сторона уравнения (100,9) имеет максимум при Каждая точка на оси абсцисс, изображающая состояние зерна, движется вправо или влево в зависимости от знака производной
Рис. 34. Точки же Таким образом, функция у
где Вблизи точки
Введя новую неизвестную функцию как отношение
Его исследование, аналогичное произведенному выше для уравнения (100,9), приводит к заключению, что асимптотически при
При
Поскольку Перейдем к вычислению функции распределения зерен по размерам. Функция распределения в переменных
Уравнение непрерывности для этой функции:
Везде, за исключением близкой
Решение уравнения (100,16) имеет вид
где Мы видели, что все точки на оси и, изображающие зерна, двигаясь справа налево, проходят через окрестность запирающей точки, причем чем позднее они попадают в эту область, тем дольше, они там находятся. Эта окрестность играет таким образом роль стока для точек Функция распределения справа от точки В уравнении сохранения вещества (100,5) член
сюда надо подставить
Функция
где
Постоянная А определяется обратной подстановкой (100,20) в уравнение (100,19); численное вычисление получающегося интеграла дает Функция
Поэтому число зерен в единице объема
Легко найти также и среднее (по распределению (100,21)) значение и. Для этого рассмотрим интеграл
Подставив сюда и
Таким образом,
т.е. Собрав полученные формулы, выпишем еще раз результаты, вернувшись к исходным переменным—радиусу зерна а и размерному времени t. Средний радиус зерна возрастает со временем по асимптотическому закону
Распределение же зерен по размерам дается в каждый момент времени функцией (100,21): число зерен с радиусом в интервале
Рис. 35. Отметим, что асимптотический закон распределения оказывается независящим от начального (в момент начала стадии коалесценции) распределения. Полное число зерен (в единице объема) убывает со временем по закону
Пересыщение же раствора стремится к нулю как
Для понимания смысла этих законов обратим внимание на то, что в проведенном рассмотрении общий объем раствора рассматривался как неограниченный, а потому неограничен и полный запас растворенного вещества. В конечном объеме процесс заканчивается, разумеется, за конечное время, когда все растворенное вещество выпадает в виде одного тела.
|
1 |
Оглавление
|