§ 92. Гриновские функции неравновесной системы

Задачи физической кинетики всегда связаны с рассмотрением неравновесных состояний. Тем не менее применение описанного в предыдущем параграфе метода позволяет в ряде случаев свести задачи о вычислении кинетических величин к вычислению гриновских функций для термодинамически равновесных систем; тем самым появляется возможность использования такой диаграммной техники (как мацубаровская), которая по самому своему существу применима именно к равновесным состояниям. Естественно, что такая возможность во всяком случае ограничена физическими вопросами, относящимися лишь к слабо неравновесным состояниям.

Мы приступим теперь к построению диаграммной техники, пригодной в принципе для вычисления гриновских функций систем, находящихся в произвольных неравновесных состояниях. Получаемые в этой технике уравнения для гриновских функций по своему смыслу аналогичны кинетическим уравнениям.

В применении же к равновесным системам эта же техника позволяет получить гриновские функции и обобщенные восприимчивости (при отличных от нуля температурах) как функции сразу от непрерывных вещественных частот, без необходимости в аналитическом продолжении (в этой связи она может оказаться, в сложных случаях, более удобной, чем мацубаровская техника)

Гриновская функция неравновесной системы определяется так же, как и в равновесном случае:

Разница состоит лишь в том, что усреднение (обозначенное символом производится теперь по произвольному квантовому состоянию системы, а не обязательно по стационарному состоянию, как в равновесном случае. Верхний знак (здесь и везде ниже) относится к статистике Ферми, а нижний — к статистике Бозе; в последнем случае (для системы из бесспиновых частиц) спиновые индексы надо, конечно, опустить. В случае статистики Бозе предполагается, что конденсация отсутствует, т. е. что либо речь идет о системах с несохраняющимся числом частиц (фононы, фотоны), либо система находится при температурах выше точки начала конденсации. В неоднородной неравновесной системе функция (92,1) зависит уже от обеих пар переменных по отдельности, а не только от их разности как в равновесном случае.

Диаграммная техника должна дать возможность выразить гриновскую функцию системы взаимодействующих частиц через функции идеального газа. При этом, однако, автоматически возникает необходимость во введении наряду с G еще и других функций. С целью не разбивать дальнейшее изложение, дадим сразу же определение этих функций и выясним некоторые их свойства.

По причинам, которые выяснятся в следующем параграфе, целесообразно обозначить функцию таким образом, запишем это определение в виде

Определение следующей функции,

отличается от (92,2) тем, что вместо Т в нем стоит символ Т, означающий упорядочение расположения операторных множителей в обратном хронологическом порядке справа налево в порядке убывания времен.

Еще две функции определяются как средние значения не хронологизированных произведений -операторов:

Разница в знаках в этих определениях для ферми-систем связана с общим правилом — необходимостью изменения знака при перестановке -операторов.

Отметим, что вторая из функций (92,4) при совпадает с одночастичной матрицей плотности; в полной записи:

(ср. IX, (7,17), (31,4)); с какой стороны стремится к пределу -здесь все равно, так как функция непрерывна при Значение же функции при связано со значением формулой

следующей из правила коммутации фермиевских или бозевских -операторов.

Определенные таким образом четыре -функции не независимы. Они связаны друг с другом линейным соотношением, очевидным непосредственно из их определений:

Функции связаны также и соотношением «антиэрмитовой сопряженности» по отношению к перестановке их аргументов:

Функции же «антиэрмитовы» сами по себе:

Важную роль в дальнейшем будет играть связь этих функций с запаздывающими или опережающими гриновскими функциями. Последние определяются аналогично тому, как это делалось в равновесном случае (ср. IX, § 36):

Эти две функции «эрмитово-сопряжены» друг с другом:

(92,11)

Прямое сравнение определений (92,2-4) и (92,10) дает

(91,12)

В стационарном, пространственно-однородном случае, когда все функции зависят только от разностей они могут быть подвергнуты фурье-разложению по этим переменным. Из (92,8) и (92,11) следуют для фурье-компонент равенства

(92,13)

а из (92,9) следует, что фурье-компоненты и мнимые.

Для системы невзаимодействующих частиц функция удовлетворяет уравнению

(92,14)

где обозначает дифференциальный оператор

(92,15)

, а

индекс (0) у -функции указывает, что она относится к идеальному газу, а индекс 1 у оператора - что дифференцирование производится по переменным

Напомним, что -функция в правой стороне уравнения (92,14) связана со скачком, который функция испытывает при . Такой же скачок испытывают функции , и потому удовлетворяют такому же уравнению. Функция же имеет при скачок обратного знака; поэтому

(92,17)

Наконец, функции непрерывны при поэтому для идеального газа они удовлетворяют уравнениям

(92,18)

Вычислим все -функции для стационарного однородного состояния идеального газа, характеризующегося некоторым (не обязательно равновесным) распределением частиц по импульсам пр. Для упрощения формул будем считать, что это распределение не зависит от спина. Тогда спиновая зависимость -функций (в статистике Ферми) отделяется в виде множителя вместе со спиновыми индексами будем опускать и этот множитель.

-операторы идеального газа пишем в виде обычных разложений:

(92,19)

и аналогично для (ср. IX, (9,3)). При подстановке этих выражений в определения -функций надо помнить, что отличны от нуля диагональные матричные элементы лишь от произведений операторов уничтожения и рождения частиц с одинаковыми р, причем

Таким образом, найдем, например,

где

Переписав это выражение тождественно в виде

мы видим, что

(92,20)

Аналогичным образом найдем

(92,21)

Для вычисления удобнее всего исходить прямо из уравнения

решая его методом Фурье и учтя, что не должна иметь особенностей в верхней полуплоскости со. Отсюда сразу находим

(92,22)

(функция же получается отсюда, согласно (92,13), просто комплексным сопряжением).

Наконец, с помощью (92,12) находим теперь

(92,23)

Обратим внимание на тот факт, что выражение (92,22) вообще не зависит от свойств состояния (т. е. от распределения пр), по которому производится усреднение. Это свойство функции не связано в действительности с заранее предположенной при выводе (92,22) однородностью и стационарностью состояния системы: функция автоматически оказывается зависящей только от разности

В применении к равновесной системе, в выражениях (92,21 —23) надо понимать под пр функцию распределения Ферми или Бозе. При этом G-функции окажутся выраженными через Т и тем самым будет осуществлен переход от усреднения по заданному стационарному квантовому состоянию к усреднению по распределению Гиббса.

Задача

Найти гриновские функции для однородного стационарного состояния фононного газа в жидкости.

Решение. Аналогично определениям (92,4), имеем для фононного поля:

где — оператор переменной части плотности среды.

Ввиду самосопряженности этого оператора, функции (1) связаны соотношением

(и, конечно, по-прежнему обладают свойством (92,9)).

Для газа невзаимодействующих фононов (см. IX, (24,10))

( — невозмущенная плотность, — скорость звука). Подставив (3) в (1) и перейдя от суммирования к интегрированию, имеем

или, заменив во втором члене переменную интегрирования к и выразив средние значения через числа заполнения фононных состояний ,

Подынтегральное выражение (без множителя ) есть уже компонента фурье-разложения по координатам. Разложив также и по времени, получим

Для функции же имеем, согласно (2):

Еще две гриновские функции определяются как

При этом

Для невзаимодействующих фононов аналогичное вычисление дает (ср. задачу в IX, § 31)

В согласии с (7), .

Из (8) следует, что в координатном представлении функция удовлетворяет уравнению

заменяющему уравнение (92,14) для гриновских функций обычных частиц.