§ 102. Динамическая масштабная инвариантность

Изложенная в предыдущем параграфе теория не учитывает флуктуаций параметра порядка. Поэтому ее применимость ограничена теми же условиями, что и термодинамическая теория фазовых переходов Ландау. Эти условия нарушаются в достаточной близости к точке перехода во «флуктуационной» области.

В этой области кинетические (как и чисто термодинамические — см. V, § 148) свойства тела могут быть описаны набором «критических индексов», определяющих законы изменения различных величин при приближении к точке перехода. Оказывается возможным получить некоторые соотношения между этими индексами путем распространения на кинетические явления гипотезы масштабной инвариантности, сформулированной для термодинамических свойств в V, § 149; о таком распространении говорят как о динамической масштабной инвариантности.

Характер особенности, которую имеют в точке перехода термодинамические величины, зависит от числа компонент параметра порядка, описывающего переход, и от структуры составленного из них эффективного гамильтониана (см. V, § 147).

Для кинетических величин разнообразие возможных случаев возрастает в связи с возможным разнообразием форм «уравнений движения», описывающих релаксацию. Обсудим сначала простейший случай однокомпонентного параметра порядка (В. I. Halperin, Р. С. Но-henberg, 1969).

Принципиальный (хотя фактически неосуществимый) путь к определению законов релаксации состоит в вычислении точной (с учетом флуктуаций) обобщенной восприимчивости для параметра порядка под действием внешнего поля. Ход изменения со временем при релаксации определяется (как это было объяснено в § 91) особыми точками X как функции комплексной переменной Если ближайшей к вещественной оси особенностью является простой полюс в точке на мнимой оси, то каждая фурье-компонента параметра порядка затухает по экспоненциальному закону со временем релаксации Наряду с критическими индексами, определяющими поведение термодинамических величин, введем два индекса у характеризующих функцию

(102,1)

причем поскольку время релаксации становится бесконечным при

Представляется весьма правдоподобным утверждать, что вблизи точки фазового перехода второго рода (во флуктуационной области) время релаксации не зависит от температуры, если измерять его в единицах , а длины измерять в единицах - корреляционного радиуса флуктуаций параметра порядка. Другими словами, функция должна иметь вид

(102,3)

где функция зависит от температуры только через посредство в произведении .

Поскольку при , то в соответствии с определением критического индекса z должно быть при . При этом температурная зависимость отделяется в виде произведения

где v — критический индекс корреляционного радиуса

(102,4)

Но должно оставаться при конечным. Отсюда следует, что должно быть

(102,5)

Таким образом, предположение о масштабной инвариантности позволяет связать друг с другом оба индекса в (102,1-2).

Как и в статическом случае, есть все основания полагать, что критические индексы одинаковы по обе стороны точки перехода. Дело в том, что пространственная неоднородность () размывает фазовый переход в том смысле, что устраняет особенности всех величин при (в этом отношении неоднородность влияет на фазовый переход так же, как внешнее поле). Другими словами, точка теряет свою выделенность, так что нет никаких причин для различия значений индекса z при стремлении к сверху или снизу. В силу соотношения (102,5), то же самое относится тогда и к индексу у.

Аналогичным образом можно связать с и другие критические индексы. Рассмотрим, например, зависимость восприимчивости от при в точке

В соответствии с масштабной инвариантностью, функция может быть представлена в виде

где — критический индекс для восприимчивости при и При восприимчивость должна стремиться к конечному (при ) пределу. Учитывая, что найдем, что для этого должно быть

Тем самым определится искомая зависимость от :

Таким образом, в рассмотренном случае требования масштабной инвариантности позволяют установить определенную связь между кинетическими и термодинамическими критическими индексами, но недостаточны для полного определения первых по последним.