§ 94. Собственно-энергетические функции

Как и всякая «разумная» диаграммная техника, техника Келдыша позволяет проводить суммирования диаграмм «блоками». Важнейшими такими блоками являются так называемые собственно-энергетические функции.

Напомним (см. IX, § 14), что это понятие возникает при рассмотрении диаграмм для гриновской функции, которые нельзя разделить на две части, соединенные лишь одной сплошной линией.

Выделив множители отвечающие двум концевым линиям такой диаграммы, представим ее (в координатном представлении, как функцию двух аргументов в виде

Функцию представляющую всю внутреннюю часть диаграммы, называют собственно-энергетической. Точная же собственно-энергетическая функция (которую и обозначают посредством ) определяется суммой всех возможных диаграмм указанного типа. В соответствии с тем, что в излагаемой технике каждой вершине диаграммы должен еще быть приписан знак или существуют четыре точные собственно-энергетические функции, в соответствии со знаками их «выходной» и «входной» вершин; обозначим их как

Точные -функции выражаются через точные -функции тождествами, которые можно записать в графическом виде: для функции

и аналогично для остальных функций (жирные линии точные G-функции, кружки - -функции; ср. IX, (14,4)). В аналитическом виде:

и еще три уравнения для остальных G-функций.

Для компактной записи таких уравнений целесообразно ввести матрицы

Тогда четыре уравнения вида (94,2) запишутся совместно как одно матричное уравнение

множители под знаком интеграла перемножаются по правилу матричного умножения.

Аналогичным образом записываются совместно уравнения (92,14—18), которым удовлетворяют G-функции идеального газа:

где

Вернемся к уравнению (94,4) и подействуем на обе его стороны оператором Учитывая (94,5), получим в результате систему четырех интегро-дифференциальных уравнений, записанных в виде одного матричного уравнения:

Отметим, что это уравнение можно представить и в другом, эквивалентном виде, если заметить, что в диаграммной записи (94,1) можно с тем же успехом изображать жирные линии слева (а не справа, как в (94,1)). Другими словами, в (94,2) можно писать множители в каждом члене подынтегрального выражения в порядке . Подействовав на представленные в таком виде равенства оператором (см. примечание на стр. 472), получим

Собственно-энергетические функции сами могут быть представлены в виде ряда скелетных диаграмм, графическим элементам которых жирным сплошным линиям отвечают точные G-функции. Так, для системы частиц с парным взаимодействием:

и аналогично для дальнейшие члены ряда содержат диаграммы с большим числом пунктирных линий. Таким образом, уравнения (94,4) или (94,7) представляют собой полную, хотя и очень сложную систему уравнений для точных G-функций.

Уравнения (94,6) не содержат вовсе функций зависящих от выбора «нулевого» состояния системы невзаимодействующих частиц. Таким образом, всякая зависимость от этого выбора исчезает. Но наличие в уравнениях дифференциальных операций приводит к неоднозначности их решений. Эта неоднозначность проявляется присутствием функций в интегральных уравнениях (94,4).

Система уравнений (94,6) имеет, однако, тот недостаток, что в ней не учтена еще в явном виде линейная зависимость G-функций, выражаемая равенством (92,7). Для устранения этого недостатка надо произвести линейное преобразование матрицы G таким образом, чтобы, используя (92,7), обратить один из ее элементов в нуль. Такое преобразование осуществляется формулой

(94,10)

где

Легко убедиться, что преобразованная матрица

где

(94,12)

Преобразовав таким же образом матрицы , мы оставим уравнение (94,4) инвариантным.

Преобразованная матрица 2:

(94,13)

где обозначено

(94,14)

В этом можно убедиться прямым вычислением с учетом равенства

являющегося следствием равенства (92,7) (его легко получить, приравняв нулю выражение

составленное с помощью уравнений (94,6)).

Раскрыв теперь преобразованное матричное уравнение (94,4), получим три уравнения. Одно из них:

(94,16)

Такое же уравнение для не дает ничего нового, так как оно является просто «эрмитово-сопряженным» по отношению к уравнению (94,16). Подчеркнем, что это уравнение, хотя в нем и фигурирует относящаяся к идеальному газу функция не зависит от «нулевого» состояния, поскольку функция от этого состояния не зависит (как это было отмечено в § 92).

Наконец, получающееся из (94,4) третье уравнение для функции F содержит члены с функцией FM, зависящей от «нулевого» состояния. Эти члены, однако, исчезают при воздействии на них дифференциального оператора поскольку . В результате получим уравнение

(94,17)

Уравнения (94,16-17) составляют полную систему, описывающую в принципе поведение неравновесной системы. Второе из них интегро-дифференциальное и представляет собой обобщение кинетического уравнения Больцмана; напомним в этой связи, что согласно (92,5-6) функции а с ними и F, непосредственно связаны с функцией распределения частиц в системе. Решение уравнения (94,17) содержит произвол, соответствующий произволу в решении кинетического уравнения. Уравнение же (94,16) — чисто интегральное и не вносит поэтому никакого дополнительного произвола в решение системы.

Отметим, однако, принципиальную особенность уравнений (94,16 —17), отличающую их в общем случае от обычного кинетического уравнения: они содержат две, вместо одной, временных переменных . В следующем параграфе будет показано, каким образом это различие устраняется в квазиклассическом случае.