§ 32. Продольные плазменные волны

Пространственная дисперсия приводит к возможности распространения в плазме продольных электрических волн.

Зависимость частоты от волнового вектора (или, как говорят, закон дисперсии) для этих волн определяется уравнением

Действительно, при для продольного электрического поля Е имеем Положив также мы тождественно удовлетворим второй паре уравнений Максвелла (28,2). Из первой же пары остается уравнение выполнение которого обеспечивается продольностью поля: .

Корни уравнения (32,1) оказываются комплексными . Если мнимая часть проницаемости то эти корни лежат в нижней полуплоскости комплексного переменного , т. е. . Величина представляет собой декремент затухания волны, происходящего по закону Говорить о распространяющейся волне можно, конечно, лишь если — декремент затухания должен быть мал по сравнению с частотой. Мы получим такой корень уравнения (32,1), предположив, что

Тогда в колебаниях участвуют лишь электроны и функция дается формулой (31,7). Решение уравнения осуществляется последовательными приближениями. В первом приближении, опустив все зависящие от k члены, найдем, что

т. е. волны имеют постоянную, не зависящую от k частоту. Эти волны называют плазменными, или ленгмюровскими (J. Langmuir, L. Totiks, 1926). Они являются длинноволновыми в том смысле, что

как это следует присо из (32,2).

Для определения зависящей от k поправки в вещественной части частоты, достаточно положить в поправочном члене в ; тогда получим

(А. А. Власов, 1938).

Мнимая же часть частоты при этом

и экспоненциально мала вместе с

Для ее определения (вместе с предэкспоненциальным множителем) надо подставить в уже подправленное значение (32,5). В результате получим

(Л. Д. Ландау, 1946). В силу условия декремент затухания плазменных волн действительно оказывается экспоненциально малым. Он возрастает с уменьшением длины волны и при (когда формула (32,7) уже неприменима) становится того же порядка величины, что и частота, так что понятие о распространяющихся плазменных волнах теряет смысл.

Проведенное рассмотрение относится, строго говоря, лишь к изотропной плазме, в которой тензор диэлектрической проницаемости сводится, согласно (28,7), к двум скалярным величинам . В анизотропной плазме (т. е. при зависящей от направления функции распределения ) не существует строго продольных волн. При определенных условиях, однако, в ней могут распространяться «почти продольные» волны, в которых поперечная по отношению к вектору к составляющая поля, мала по сравнению с продольной составляющей :

Для выяснения этих условий замечаем прежде всего, что в пренебрежении из уравнения следует, что

Это равенство, определяющее закон дисперсии волн, можно снова записать в виде (32,1), если определить «продольную» проницаемость как

подчеркнем, что эта величина зависит теперь от направления k. Однако из условия уже не следует равенство ; величина

отлична от нуля (в изотропной же плазме при ). Далее, из уравнения Максвелла находим оценку магнитного поля в волне:

и затем из уравнения — оценку поперечного электрического поля

(32,10)

Таким образом, условие «почти продольности» (32,8) удовлетворяется, если волна является «медленной» в том смысле, что

(32,11)

Отметим, наконец, что формула (29,10) остается справедливой и для определенной согласно (32,9) величины , в случае анизотропной плазмы, как это ясно из ее вывода из выражения

с продольным полем Е. При этом существенно, что в кинетическом уравнении можно пренебречь лоренцевой силой по сравнению с (хотя ее произведение с и не обращается теперь при анизотропной функции ( - тождественно в нуль). Действительно, с оценкой (32,10) имеем

Это отношение мало как в силу условия «медленности» волны (32,11), так и в силу