ГЛАВА IX. МЕТАЛЛЫ

§ 78. Остаточное сопротивление

Кинетические свойства металлов значительно сложнее, чем у диэлектриков, уже ввиду существования в них квазичастиц различных родов электронов проводимости и фононов.

Перенос электрического заряда осуществляется, разумеется, электронами проводимости. Перенос же тепла осуществляется как электронами, так и фононами. Фактически, однако, в достаточно чистых металлах электроны играют основную роль и в теплопроводности, прежде всего ввиду того, что их скорость (скорость на ферми-поверхности) велика по сравнению со скоростью фононов (скоростью звука). Кроме того, при низких температурах электронная теплоемкость значительно больше фононной.

Электроны проводимости испытывают столкновения различных типов — друг с другом, с фононами, с примесными атомами (и другими дефектами решетки). Частота столкновений первых двух типов убывает с уменьшением температуры. Поэтому при достаточно низких температурах определяющую роль в кинетических явлениях играет рассеяние электронов на примесях. Эту температурную область называют областью остаточного сопротивления. С нее мы и начнем изучение кинетики металлов.

Связь электрического тока j и диссипативного потока энергии q в металле с электрическим полем Е и градиентом температуры записывается в виде соотношений (44, 12—13):

В таком виде они относятся к кристаллам кубической симметрии, что и будет предполагаться, для простоты, везде ниже. Для кристаллов не кубической симметрии коэффициенты а, заменяются тензорами второго ранга. Соотношение (78,2) будет удобнее использовать, выразив в нем j через Е из первого равенства:

Все сказанное в § 74 о кинетическом уравнении для ферми-жидкости в значительной мере остается в силе и для электронной жидкости в металле. Роль импульса квазичастиц играет теперь их квазиимпульс, а ферми-поверхность имеет, вообще говоря, сложную форму, свою для каждого конкретного металла.

Кинетические коэффициенты металла вычисляются в принципе с помощью линеаризованного кинетического уравнения

где , а интеграл столкновений линеаризован по искомой малой функции , определенной согласно (74,13). Дифференцирование по можно условно производить при , так как градиент все равно вошел бы в комбинации как должно быть согласно (78,1). Тогда

и кинетическое уравнение принимает вид

Плотность тока и плотность диссипативного потока энергии даются интегралами

(вычисляя q как поток кинетической энергии нет необходимости вычитать из него конвективный перенос потенциальной энергии ).

Характерной особенностью рассеяния электронов проводимости на атомах примесей является его упругость. Ввиду большой массы атомов и их «привязанности» к решетке, энергию электрона при столкновении можно считать не меняющейся. Покажем, что уже одного только предположения об упругости рассеяния достаточно, чтобы связать простой формулой электро- и теплопроводность металла.

Для этого заметим, что оператор упругих столкновений не затрагивает зависимости функции от энергии ; столкновения лишь перемещают частицы по изоэнергетической поверхности. Это значит, что любой множитель в зависящий только от , может быть вынесен из-под знака I. В свою очередь это позволяет искать решение кинетического уравнения в виде

где удовлетворяет уравнению

Вычисленная по распределению (78,6) плотность тока

Из первого члена находим тензор проводимости

В кристалле кубической симметрии так что проводимость

или, преобразовав интеграл согласно (74,18—20),

Интегрирование в производится по всем листам ферми-поверхности в пределах одной элементарной ячейки обратной решетки.

Аналогичным образом, из второго члена в (78,8), сравнив его с (78,1) находим

где обозначено Интегрирование по заменяем интегрированием по изоэнергетическим поверхностям и интегрированием по . Введя снова обозначение J из (78,10), имеем

Функция

экспоненциально убывает при поэтому интегрирование по можно распространить от до Интеграл определяется в основном областью ; величина же существенно меняется лишь на интервале Поэтому достаточно положить

При подстановке в (78,11) интеграл от первого члена обращается в нуль ввиду нечетности подынтегрального выражения по , а второй член дает

Интеграл

использовав также (78,10), получим

По порядку величины .

Положим теперь и вычислим поток энергии. Снова использовав кубическую симметрию, находим

Здесь достаточно положить после чего получим

Сравнив это выражение с (78,3) и (78,10) мы видим, что

Указанная выше оценка а показывает, что член в левой стороне равенства мал по сравнению с его правой стороной в отношении Пренебрегая им, находим окончательно следующее соотношение между тепло- и электропроводностью:

(78,13)

— закон Видемана—Франца.

Снова подчеркнем, что в выводе этого соотношения использована лишьупругость рассеяния электронов проводимости.

Проследив за выводом» легко также заметать, что предположение кубической симметрии лишь упрощало запись формул. В общем случае произвольной симметрии кристалла такая же связь (78,13) имеет место между тензорами .

Для определения температурной зависимости каждого из коэффициентов в отдельности надо выписать интеграл столкновений. Для столкновений с примесными атомами он имеет вид, вполне аналогичный интегралу (70,3) для рассеяния фононов на примесях:

(78,14)

Множители или учитывают принцип Паули переход может произойти лишь в незанятые состояния; множители же или учитывают, что рассеяние может иметь место лишь из занятого состояния. Как и в (70,3), в интеграле (78,14) подразумевается, что примесные атомы расположены хаотически, а среднее расстояние между ними много больше амплитуды рассеяния; тогда различные атомы рассеивают независимо. В интеграле (78,14) уже использовано равенство . К рассеянию электронов проводимости на примесных атомах борновское приближение, вообще говоря, неприменимо. Написанное равенство можно обосновать соображениями, использованными при выводе принципа детального равновесия в форме (2,8). При этом, однако, подразумевается, что положения, занимаемые атомами примеси в решетке металла, обладают симметрией, допускающей инверсию.

Линеаризация интеграла столкновений сводится к замене разности на . Уравнение (78,7) принимает тогда вид

(78,15)

Это уравнение не содержит температуры. Поэтому не будет зависеть от температуры и его решение , а согласно (78,10) и проводимость . Таким образом, при достаточно низких температурах, когда рассеяние на примесях является основным механизмом электрического сопротивления, сопротивление стремится к постоянному (остаточному) значению. Соответственно в этой области теплопроводность k пропорциональна Т.

Для грубой количественной оценки остаточного сопротивления можно воспользоваться элементарной формулой (43,7), положив в ней (для электронов в металле)

(78,16)

где -плотность электронов. При рассеянии на примесях длина свободного пробега , где - транспортное сечение рассеяния. Поэтому остаточное сопротивление ,

(78,17)

К сказанному в этом параграфе надо сделать еще следующее замечание. Общее условие применимости кинетического уравнения для ферми-жидкости требует, чтобы квантовая неопределенность энергии электрона была мала по сравнению с шириной зоны тепловой размытости распределения Ферми. Указанная неопределенность где - время свободного пробега. Для рассеяния на примесях неопределенность не зависит от температуры и тем самым размывает ферми-границу даже при . На первый взгляд отсюда следует, что все проведенное выше рассмотрение ограничено очень жестким условием

(78,18)

зависящим от концентрации примесей. В действительности, однако, такое ограничение отсутствует (Л. Д. Ландау, 1934).

Дело в том, что ввиду закрепленности положений примесных атомов и упругости рассеяния электронов на них, вся задача о вычислении электрического тока может быть сформулирована в принципе как квантовомеханическая задача о движении электрона в некотором заданном сложном, но потенциальном внешнем поле. Для состояний электрона, определенных как стационарные состояния в этом поле, энергия не имеет неопределенности; при электроны будут заполнять область состояний, ограниченную резкой ферми-поверхностью но не в импульсном пространстве, а в пространстве квантовых чисел движения в этом поле. В такой постановке задачи условия типа (78,18) вообще не возникают.