Главная > Теоретическая физика. Т. X. Физическая кинетика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА IX. МЕТАЛЛЫ

§ 78. Остаточное сопротивление

Кинетические свойства металлов значительно сложнее, чем у диэлектриков, уже ввиду существования в них квазичастиц различных родов электронов проводимости и фононов.

Перенос электрического заряда осуществляется, разумеется, электронами проводимости. Перенос же тепла осуществляется как электронами, так и фононами. Фактически, однако, в достаточно чистых металлах электроны играют основную роль и в теплопроводности, прежде всего ввиду того, что их скорость (скорость на ферми-поверхности) велика по сравнению со скоростью фононов (скоростью звука). Кроме того, при низких температурах электронная теплоемкость значительно больше фононной.

Электроны проводимости испытывают столкновения различных типов — друг с другом, с фононами, с примесными атомами (и другими дефектами решетки). Частота столкновений первых двух типов убывает с уменьшением температуры. Поэтому при достаточно низких температурах определяющую роль в кинетических явлениях играет рассеяние электронов на примесях. Эту температурную область называют областью остаточного сопротивления. С нее мы и начнем изучение кинетики металлов.

Связь электрического тока j и диссипативного потока энергии q в металле с электрическим полем Е и градиентом температуры записывается в виде соотношений (44, 12—13):

В таком виде они относятся к кристаллам кубической симметрии, что и будет предполагаться, для простоты, везде ниже. Для кристаллов не кубической симметрии коэффициенты а, заменяются тензорами второго ранга. Соотношение (78,2) будет удобнее использовать, выразив в нем j через Е из первого равенства:

Все сказанное в § 74 о кинетическом уравнении для ферми-жидкости в значительной мере остается в силе и для электронной жидкости в металле. Роль импульса квазичастиц играет теперь их квазиимпульс, а ферми-поверхность имеет, вообще говоря, сложную форму, свою для каждого конкретного металла.

Кинетические коэффициенты металла вычисляются в принципе с помощью линеаризованного кинетического уравнения

где , а интеграл столкновений линеаризован по искомой малой функции , определенной согласно (74,13). Дифференцирование по можно условно производить при , так как градиент все равно вошел бы в комбинации как должно быть согласно (78,1). Тогда

и кинетическое уравнение принимает вид

Плотность тока и плотность диссипативного потока энергии даются интегралами

(вычисляя q как поток кинетической энергии нет необходимости вычитать из него конвективный перенос потенциальной энергии ).

Характерной особенностью рассеяния электронов проводимости на атомах примесей является его упругость. Ввиду большой массы атомов и их «привязанности» к решетке, энергию электрона при столкновении можно считать не меняющейся. Покажем, что уже одного только предположения об упругости рассеяния достаточно, чтобы связать простой формулой электро- и теплопроводность металла.

Для этого заметим, что оператор упругих столкновений не затрагивает зависимости функции от энергии ; столкновения лишь перемещают частицы по изоэнергетической поверхности. Это значит, что любой множитель в зависящий только от , может быть вынесен из-под знака I. В свою очередь это позволяет искать решение кинетического уравнения в виде

где удовлетворяет уравнению

Вычисленная по распределению (78,6) плотность тока

Из первого члена находим тензор проводимости

В кристалле кубической симметрии так что проводимость

или, преобразовав интеграл согласно (74,18—20),

Интегрирование в производится по всем листам ферми-поверхности в пределах одной элементарной ячейки обратной решетки.

Аналогичным образом, из второго члена в (78,8), сравнив его с (78,1) находим

где обозначено Интегрирование по заменяем интегрированием по изоэнергетическим поверхностям и интегрированием по . Введя снова обозначение J из (78,10), имеем

Функция

экспоненциально убывает при поэтому интегрирование по можно распространить от до Интеграл определяется в основном областью ; величина же существенно меняется лишь на интервале Поэтому достаточно положить

При подстановке в (78,11) интеграл от первого члена обращается в нуль ввиду нечетности подынтегрального выражения по , а второй член дает

Интеграл

использовав также (78,10), получим

По порядку величины .

Положим теперь и вычислим поток энергии. Снова использовав кубическую симметрию, находим

Здесь достаточно положить после чего получим

Сравнив это выражение с (78,3) и (78,10) мы видим, что

Указанная выше оценка а показывает, что член в левой стороне равенства мал по сравнению с его правой стороной в отношении Пренебрегая им, находим окончательно следующее соотношение между тепло- и электропроводностью:

(78,13)

— закон Видемана—Франца.

Снова подчеркнем, что в выводе этого соотношения использована лишьупругость рассеяния электронов проводимости.

Проследив за выводом» легко также заметать, что предположение кубической симметрии лишь упрощало запись формул. В общем случае произвольной симметрии кристалла такая же связь (78,13) имеет место между тензорами .

Для определения температурной зависимости каждого из коэффициентов в отдельности надо выписать интеграл столкновений. Для столкновений с примесными атомами он имеет вид, вполне аналогичный интегралу (70,3) для рассеяния фононов на примесях:

(78,14)

Множители или учитывают принцип Паули переход может произойти лишь в незанятые состояния; множители же или учитывают, что рассеяние может иметь место лишь из занятого состояния. Как и в (70,3), в интеграле (78,14) подразумевается, что примесные атомы расположены хаотически, а среднее расстояние между ними много больше амплитуды рассеяния; тогда различные атомы рассеивают независимо. В интеграле (78,14) уже использовано равенство . К рассеянию электронов проводимости на примесных атомах борновское приближение, вообще говоря, неприменимо. Написанное равенство можно обосновать соображениями, использованными при выводе принципа детального равновесия в форме (2,8). При этом, однако, подразумевается, что положения, занимаемые атомами примеси в решетке металла, обладают симметрией, допускающей инверсию.

Линеаризация интеграла столкновений сводится к замене разности на . Уравнение (78,7) принимает тогда вид

(78,15)

Это уравнение не содержит температуры. Поэтому не будет зависеть от температуры и его решение , а согласно (78,10) и проводимость . Таким образом, при достаточно низких температурах, когда рассеяние на примесях является основным механизмом электрического сопротивления, сопротивление стремится к постоянному (остаточному) значению. Соответственно в этой области теплопроводность k пропорциональна Т.

Для грубой количественной оценки остаточного сопротивления можно воспользоваться элементарной формулой (43,7), положив в ней (для электронов в металле)

(78,16)

где -плотность электронов. При рассеянии на примесях длина свободного пробега , где - транспортное сечение рассеяния. Поэтому остаточное сопротивление ,

(78,17)

К сказанному в этом параграфе надо сделать еще следующее замечание. Общее условие применимости кинетического уравнения для ферми-жидкости требует, чтобы квантовая неопределенность энергии электрона была мала по сравнению с шириной зоны тепловой размытости распределения Ферми. Указанная неопределенность где - время свободного пробега. Для рассеяния на примесях неопределенность не зависит от температуры и тем самым размывает ферми-границу даже при . На первый взгляд отсюда следует, что все проведенное выше рассмотрение ограничено очень жестким условием

(78,18)

зависящим от концентрации примесей. В действительности, однако, такое ограничение отсутствует (Л. Д. Ландау, 1934).

Дело в том, что ввиду закрепленности положений примесных атомов и упругости рассеяния электронов на них, вся задача о вычислении электрического тока может быть сформулирована в принципе как квантовомеханическая задача о движении электрона в некотором заданном сложном, но потенциальном внешнем поле. Для состояний электрона, определенных как стационарные состояния в этом поле, энергия не имеет неопределенности; при электроны будут заполнять область состояний, ограниченную резкой ферми-поверхностью но не в импульсном пространстве, а в пространстве квантовых чисел движения в этом поле. В такой постановке задачи условия типа (78,18) вообще не возникают.

1
Оглавление
email@scask.ru