ГЛАВА V. ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

§ 52. Диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной холодной плазмы

Эта глава посвящена изучению свойствплазмы, находящейся во внешнем магнитном поле; такую плазму называют магнитоактивной. Заставляя заряженные частицы двигаться по спиральным траекториям вдоль силовых линий, магнитное поле оказывает глубокое влияние на поведение плазмы. Оно влияет, в частности, и на ее диэлектрические свойства.

Напомним предварительно некоторые общие свойства тензора диэлектрической проницаемости в присутствии магнитного поля с индукцией В (см. VIII, § 82). Как и в отсутствие поля, имеет место равенство (28,6):

Согласно же принципу Онсагера, этот тензор симметричен при условии одновременного изменения знака поля:

Подчеркнем, однако, что это свойство относится только к термодинамически равновесной среде в отличие от свойства (52,1), являющегося следствием уже самого определения

В общем случае тензор может быть разделен на эрмитову, и антиэрмитову, частй. Последняя определяет диссипацию энергии поля в среде (ср. (30,3)).

Изучение магнитоактивной плазмы мы начнем с простейшего случая «холодной» бесстолкновительной плазмы. Температура такой плазмы предполагается настолько низкой, что тепловым движением частиц можно пренебречь (необходимые для этого условия сформулированы ниже). В этом приближении пространственная дисперсия отсутствует и диэлектрическая проницаемость зависит только от частоты электрического поля.

Отсутствует также и диссипация, так что тензор эрмитов,

Вместе с равенством (52,1) отсюда следует, что

Разделив эрмитов тензор на вещественную и мнимую части, силу будем иметь

Таким образом, в бездиссипативной среде - четные, а — нечетные функции поля.

Будем считать, что анизотропия плазмы связана только с присутствием постоянного однородного магнитного поля (индукцию которого внутри плазмы обозначим через ). В таком случае общая линейная зависимость между индукцией и напряженностью слабого монохроматического электрического поля имеет вид

где - функции от . В тензорном виде это соотношение записывается как где

(52,7)

Если выбрать ось в направлении то компоненты этого тензора будут

Из условия эрмитовости тензора (52,7) следует, что функции вещественны, а из (52,4) следует, что — четные, a - нечетная функции частоты. Принцип Онсагера удовлетворяется выражением (52,7) автоматически.

В слабых полях тензор должен разлагаться по целым степеням вектора Поэтому при коэффициент стремится к конечному пределу—диэлектрической проницаемости в отсутствие магнитного поля. Разность же , а коэффициент

Вычисление тензора в рассматриваемом приближении может быть произведено непосредственно исходя из уравнений движения частиц в переменном поле Е и постоянном — подобно тому, как была выведена в § 31 формула (31,9). Так, для электронов имеем

Скорость v меняется со временем по тому же закону что и поле Е; пренебрегая пространственным изменением последнего в области движения частицы, имеем из (52,9)

Решение этого алгебраического векторного уравнения содержит члены, направленные вдоль В, b и [ЕЬ]; подбирая соответствующим образом коэффициенты в этих членах, получим

где Вызванная движением электронов поляризация Р, а с нею и индукция D, связаны с их скоростью соотношением (29,4):

Таким же образом вычисляется ионный вклад в поляризацию, причем оба вклада складываются. В результате находим

Здесь

(52,12)

— так называемые ларморовы частоты электронов и ионов; значения этих параметров являются важной характеристикой магнитоактивной плазмы (напомним, что это частота обращения заряженных частиц по круговым орбитам в магнитном поле).

Отношения

— малые величины. Что же касается отношения частот (или и ), зависящих от совершенно различных параметров (от плотности плазмы и от поля ), то оно может меняться в очень широких пределах.

Отметим, что ионный вклад в диэлектрическую проницаемость магнитоактивной плазмы, несмотря на большую массу ионов, может быть (при достаточно малых частотах ) сравним или даже превышать электронный вклад. При два члена в g взаимно сокращаются и в этом легко убедиться, заметив, что

(52,14)

в силу электронейтральности плазмы Оба члена в g остаются одинакового порядка величины при , а пренебрежение ионной частью в g возможно при . В поперечной же проницаемости, оба члена сравниваются лишь в области

Пренебрежение ионным вкладом возможно здесь лишь при

(52,15)

Наконец, в продольной проницаемости (куда входят в виде суммы) ионной частью можно пренебречь всегда. Отметим, кстати, что независимость от - следствие того, что поле Е рассматривалось как однородное: в скрещенных однородных полях магнитное поле не меняет движения частиц вдоль направления

Остановимся, наконец, на условиях применимости полученных формул. Применив к движению частиц уравнение (52,9), мы пренебрегли пространственным изменением поля Е в области локализации частицы. Размеры этой области в направлении постоянного поля определяются расстоянием проходимым частицей, движущейся со средней тепловой скоростью за время изменения переменного поля. В направлениях же, перпендикулярных полю эти размеры при определяются величиной

(52,16)

— радиусом круговых орбит частиц, движущихся со скоростью в магнитном поле (ларморов радиус частиц). Указанное выше пренебрежение требует малости этих расстояний по сравнению с расстояниями, на которых меняется (в соответствующих направлениях) поле Е:

(52,17)

где — составляющие волнового вектора вдоль и поперек поля Эти неравенства должны выполняться для каждого рода частиц в плазме.

Мы увидим ниже, что, кроме того, частота не должна быть слишком близкой к какой-либо из частот или их кратным (условия (53,17)). Вблизи этих частот пространственная дисперсия должна учитываться даже при соблюдении условий (52,17).

Как мы увидим в § 55, это устраняет полюсы, которые выражения (52,11) имеют при или