§ 81. Процессы переброса в металле

Характер электрон-фононного рассеяния при низких температурах радикально отличен от характера рассеяния при При в кристалле возбуждены фононы с энергиями (относящиеся, вообще говоря, к акустическим ветвям спектра). При испускании или поглощении такого фонона энергия электрона меняется на величину , т. е. на порядок величины всей ширины области размытости ферми-распределения. Изменение же квазиимпульса электрона совпадает с квазиимпульсом фонона. Поскольку , то это значит, что квазиимпульс электрона изменяется лишь на относительно малую величину. Таким образом, при низких температурах имеет место предельный случай, обратный по отношению к упругому рассеянию: релаксация электронов по энергиям происходит значительно быстрее, чем по направлениям их квазиимпульсов.

Релаксация по энергиям представляет собой быстрое «перемешивание» в зоне размытости фермиевского распределения. Релаксация же по направлениям есть выравнивание распределения вдоль этой поверхности; оно происходит малыми скачками, т. е. имеет характер медленной диффузии по этой поверхности.

Прежде чем перейти к детальному рассмотрению кинетических явлений в этих условиях, сделаем некоторые общие замечания о роли процессов переброса.

Как и в диэлектрических кристаллах, конечность кинетических коэффициентов идеального (без примесей или дефектов) металлического кристалла связана с существованием процессов переброса. С учетом одних лишь нормальных процессов, идущих с сохранением суммарного квазиимпульса электронов и фононов, кинетические уравнения имели бы паразитные решения, отвечающие движению электронной и фононной систем как целого относительно решетки. Это решения вида

с постоянным вектором (ср. (67,19)); эти функции обращают в нуль интегралы столкновений (79,9-10), если испускание или поглощение фононов электронами происходит с сохранением квазиимпульса к).

При высоких температурах, когда квазиимпульсы как электронов, так и фононов велики процессы переброса происходят, вообще говоря, с той же частотой, что и нормальные процессы. Необходимость их учета не приводит поэтому ни к каким специфическим особенностям в кинетических явлениях.

Квазиимпульсы электронов расположены вблизи ферми-поверхности и в этом смысле от температуры практически не зависят.

Но при низких температурах становятся малыми квазиимпульсы фононов, в связи с чем процессы переброса могут оказаться затрудненными. В этом отношении ситуация существенно различна в случаях закрытых и открытых ферми-поверхностей.

Открытая ферми-поверхность при любом выборе элементарной ячейки в -пространстве (обратной решетке) пересекает границы ячейки. Ясно, что в этом случае всегда возможны процессы переброса с испусканием или поглощением фонона со сколь угодно малой энергией: уже малое изменение квазиимпульса электрона вблизи границы ячейки может «перебросить» его в соседнюю ячейку. В течении своей диффузии по ферми-поверхности все электроны в конце концов достигают границ ячейки и, таким образом, могут участвовать в процессах переброса. Следовательно, и в этом случае вероятность процессов переброса не обладает какой-либо дополнительной (по сравнению с нормальными процессами) малостью. Само разделение процессов на нормальные и с перебросом зависит от способа выбора ячейки обратной решетки и в этом смысле условно. При открытой ферми-поверхности указанное выше свойство (отсутствие особой малости частоты процессов переброса) остается при любом выборе ячейки. В этом случае целесообразно вообще отказаться от разделения актов рассеяния на два типа, рассматривая их все как нормальные (т. е. идущие с сохранением квазиимпульса), но допуская значения квазиимпульса электронов во всей обратной решетке. Для фононов же элементарная ячейка выбирается так, чтобы точка находилась в ее центре; тогда все длинноволновые фононы (которые только и надо рассматривать при ) находятся в малой части объема одной ячейки в окрестности ее центра. Исключение же паразитного решения (81,1) достигается при таком рассмотрении путем наложения на функцию распределения электронов условия периодичности в обратной решетке:

Равновесное распределение, зависящее только от энергии электрона , удовлетворяет этому условию автоматически ввиду периодичности функции . Вместе с периодична и производная а потому должен быть периодичен и множитель этим требованием устраняется не удовлетворяющее ему решение (81,1).

Обратимся к случаю закрытой ферми-поверхности. В этом случае можно выбрать основную ячейку обратной решетки таким образом, чтобы ферми-поверхность нигде не пересекала ее границ.

Тогда процессам переброса отвечают переходы электрона между какими-либо точками ферми-поверхности в основной ячейке и ее повторения в соседней ячейке, как это показано схематически на рис. 29. Соединяющий эти точки вектор k — квазиимпульс испускаемого или поглощаемого фонона. Расстояние k, вообще говоря, велико и при низких температурах число фононов с энергией экспоненциально малопропорционально

Рис. 28

Рис. 29.

Эффективная частота актов рассеяния с перебросом в этих условиях зависит от температуры по закону

где - значение квазиимпульса фонона (среди всех векторов указанного типа), для которого энергия имеет минимальное значение. Здесь существенно, конечно, что скорость электронов много больше скорости фононов Именно поэтому нельзя уменьшить экспоненту в (81,3), изменяя длину вектора к путем удаления от ферми-поверхности. Хотя энергия фонона может при этом уменьшиться на величину но одновременно возросла бы на значительно большую величину, энергия участвующего в процессе электрона, что привело бы в результате к уменьшению, а не увеличению Для нахождения достаточно поэтому рассматривать ферми-поверхность как таковую, не учитывая размытия распределения вблизи нее. Фактически обычно оказываются существенными точки вблизи максимального сближения ферми-поверхности с ее повторением в соседней ячейке.

Решение (81,1) означает наличие макроскопического потока электронов в отсутствие электрического поля, т. е. бесконечную электропроводность. Экспоненциально же малая частота процессов переброса приводит к экспоненциально большой электропроводности (R. Peierls).

Теплопроводность же металла с закрытой ферми-поверхностью остается конечной и при пренебрежении процессами переброса. Дело в том, что коэффициент теплопроводности определяет, согласно (78,2), тепловой поток в отсутствие электрического тока; условие же автоматически исключает паразитное решение (81,1).

Учет процессов переброса может изменить величину лишь в меру своей малости. То же самое относится и к термоэлектрическому коэффициенту а, который связывает (согласно определению (78,1)) градиент температуры с электрическим полем опять-таки при условии (см. задачу к § 82).

Сказанное, однако, не относится к компенсированным металлам с замкнутыми электронными и дырочными ферми-поверхностями, т. е. к металлам с одинаковыми числами электронов и дырок: (см. IX, § 61). Дело в том, что в этом случае решение (81,1) не связано с существованием электрического тока. Действительно, плотность тока, отвечающая этому решению, есть

Первый интеграл берется по объему электронных, а второй — по объему дырочных полостей ферми-поверхности; в последнем введено распределение дырок согласно Теперь можно преобразовать интегралы по частям; возникающие при этом интегралы по поверхности граней ячейки обращаются в нуль ввиду быстрого убывания при удалении от соответствующих ферми-поверхностей. В результате найдем, что

Для компенсированного металла

Это значит, что электропроводность компенсированного металла конечна уже и без учета процессов переброса. Напротив, коэффициент теплопроводности и термоэлектрический коэффициент определяются именно процессами переброса и без учета последних оказались бы бесконечными, поскольку условие в этом случае не исключает паразитного решения (81,1).

В рассуждениях и оценках в этом (и в следующем) параграфе по существу подразумеваются простейшие предположения о форме ферми-поверхности: предполагается, что она либо закрыта, либо открыта, причем все ее характерные размеры порядка величины Между тем ферми-поверхности реальных металлов, вообще говоря, имеют сложную форму и могут состоять из нескольких различных листов; мы не будем останавливаться на анализе соответствующих усложнений в поведении кинетических коэффициентов реальных металлов. Так, листы открытых ферми-поверхностей в различных ячейках обратной решетки могут быть связаны тонкими (с толщиной ) перемычками. Появление к задаче малого параметра может привести к появлению новых «промежуточных» областей температуры со своими законами температурной зависимости кинетических коэффициентов.

Листы замкнутых ферми-поверхностей могут подходить «аномально» близко друг к другу; это может привести к отодвиганию экспоненциального закона (81,3) в область «аномально» низких температур.