ГЛАВА VI. ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ

§ 61. Пучковая неустойчивость

Согласно результатам § 34, амплитуда возмущения с волновым вектором к в однородной неограниченной среде ведет себя асимптотически при как

где - частота волн, распространяющихся в среде. В частности, для продольных волн в плазме частоты - корни уравнения

Частоты , вообще говоря, комплексны. Если мнимая часть то возмущение затухает со временем. Если же в некотором интервале значений к имеем , то такие возмущения возрастают среда неустойчива по отношению к колебаниям в этом интервале длин волн; величину называют в таком случае инкрементом неустойчивости. Сразу же подчеркнем, что, говоря о «неограниченном» возрастании возмущения (по закону ) мы всегда, здесь и ниже, имеем в виду лишь поведение в линейном приближении; в действительности, разумеется, возрастание ограничено нелинейными эффектами.

В бесстолкновительной плазме мнимая часть частоты возникает в силу затухания Ландау. Термодинамически равновесное состояние плазмы, отвечая абсолютному максимуму энтропии, устойчиво по отношению к любому возмущению. В § 30 было уже отмечено, однако, что для неравновесных распределений в плазме поглощение энергии колебаний может смениться их усилением. Это проявляется в появлении области значений независимых переменных k и в которой мнимая часть диэлектрической проницаемости отрицательна: Подчеркнем, однако, что наличие таких областей само по себе еще не означает обязательно неустойчивости плазмы (во всяком случае, в линейном приближении); необходимо еще, чтобы в эту область фактически попадала какая-либо из ветвей спектра плазменных колебаний.

Характерный пример неустойчивости представляет направленный пучок электронов, проходящих через неподвижную плазму (А. И. Ахиезер, Б. Файнберг, 1949; D. Bohm, Е. P. Gross, 1949). Пучок предполагается электрически компенсированным: сумма электронных плотностей зарядов в плазме и пучке равна ионной плотности зарядов плазмы. Система однородна и неограничена, т. е. пучок (как и неподвижная плазма) заполняет все пространство, причем его направленная скорость V везде одинакова. Скорость V будем считать нерелятивистской.

Предположим сначала, что как пучок, так и плазма — холодные, т. е. можно пренебречь тепловым движением их частиц; необходимое для этого условие выяснится ниже.

В области частот электронных колебаний продольная диэлектрическая проницаемость системы плазмы - пучок имеет вид

Первый член справа отвечает неподвижной плазме, есть соответствующая электронная плазменная частота. Второй член обязан электронам пучка. В системе отсчета К, движущейся вместе с пучком, вклад его электронов в равен , где — частота колебаний в этой системе, (-плотность электронов в пучке). При переходе к исходной системе отсчета К частота заменяется на

и мы приходим к выражению (61,3) .

Будем считать плотность пучка малой в том смысле, что

так что и тогда наличие пучка лишь незначительно меняет основную ветвь спектра продольных колебаний плазмы — тот корень дисперсионного уравнения для которого . Но наряду с этой ветвью появляется еще и новая ветвь, связанная с наличием пучка; она то нас здесь и интересует.

Чтобы член с малым числителем не выпадал из дисперсионного уравнения

эта малость должна компенсироваться малостью знаменателя.

Поэтому ищем решение в виде с малым . Тогда уравнение принимает вид

откуда

причем условие требует, чтобы было не слишком близко к Предположение же о холодности плазмы требует соблюдения условия и в данном случае означает, следовательно, что должно быть — скорость пучка велика по сравнению с тепловой скоростью электронов плазмы.

Если , то оба корня (61,8) вещественны и колебания не нарастают. Если же

оба значения мнимы; то из них, в котором отвечает нарастающим колебаниям. Таким образом, система неустойчива по отношению к колебаниям с достаточно малыми значениями

Другая ситуация возникает при учете теплового движения электронов в плазме. В общем случае вместо (61,3) будем иметь

где относится к плазме без пучка. Решая уравнение тем же способом, найдем теперь

Но в силу затухания Ландау функция имеет мнимую часть всегда (при любом к). Тем самым всегда будет комплексным и , причем в силу двойного знака в (61,11) для одной из ветвей колебаний будет , т. е. эти колебания неустойчивы. При переходе к большим V, отвечающим рассмотренному выше случаю холодной плазмы, связанная с затуханием Ландау часть становится экспоненциально малой и мы возвращаемся к (61,8).

В изложенных рассуждениях пренебрегалось тепловым разбросом скоростей электронов в пучке. Это пренебрежение оправдано, если величина этого разброса

(62,12)