§ 35. Плазменное эхо

Термодинамически обратимый характер затухания Ландау проявляется в своеобразных нелинейных явлениях, называемых плазменным эхом.

Эти явления возникают в результате тех незатухающих осцилляций функции распределения (34,16), которые остаются после бесстолкновительной релаксации возмущений плотности (и поля) в плазме. Они имеют по существу кинематическое происхождение, не связанное с существованием в плазме самосогласованного электрического поля. Мы проиллюстрируем его сначала на примере газа из незаряженных частиц без столкновений.

Пусть в начальный момент времени в газе задано возмущение, в котором функция распределения, оставаясь по скоростям максвелловской в каждой точке пространства, меняется вдоль оси по периодическому закону

(в этом параграфе будет обозначать -компоненту импульса; функция распределения предполагается уже проинтегрированной по ). По такому же закону меняется вдоль оси (в тот же момент и возмущение плотности газа, т. е. интеграл . В последующие моменты времени возмущение функции распределения будет меняться по закону

отвечающему свободному перемещению каждой частицы вдоль оси со своей скоростью v. Возмущение плотности, однако, затухнет (за время ) ввиду погашения интеграла за счет осциллирующего по скоростям множителя в подынтегральном выражении. Асимптотический закон этого затухания при временах дается выражением

(оценка интеграла производится методом перевала).

Пусть теперь в некоторый момент времени функция распределения снова промодулирована с амплитудой и некоторым новым волновым вектором Возникшее возмущение плотности снова затухнет (за время ), но в момент

возникнет вновь. Действительно, вторая модуляция приводит к появлению в функции распределения (в момент члена второго порядка вида

Дальнейшая эволюция этого возмущения при превращает его в

Теперь видно, что в момент осциллирующая зависимость от v в первом члене исчезает, так что этот член даст конечный вклад в возмущение плотности газа с волновым вектором Возникшее таким образом эхо затухнет затем в течение времени причем последняя стадия этого затухания происходит по закону, аналогичному (35,3).

Перейдем к исследованию этого явления в электронной плазме (R. W. Gould, Т. М. ONeil, J. Н. Malmberg, 1967). Его механизм остается прежним, но конкретный закон затухания меняется из-за влияния самосогласованного поля.

Будем считать, что возмущения создаются импульсами некоторого внешнего (создаваемого «сторонними» зарядами) потенциала прилагаемыми к плазме в моменты

при этом предполагается, что ( - декремент затухания Ландау).

Возмущение функции распределения удовлетворяет бесстолкновительному кинетическому уравнению, которое с учетом члена второго порядка имеет вид

При этом потенциал возникающего в плазме поля (включающий в себя также и «стороннюю» часть ) удовлетворяет уравнению

Будем искать решение этих уравнений в виде интегралов Фурье:

Подставив эти выражения, умножив затем уравнение на и интегрируя их по , получим

(35,10)

где

В линейном приближении (т. е. при пренебрежении правой стороной в (35,9)) решение этих уравнений есть

где — диэлектрическая проницаемость (29,10). Этому решению отвечают возмущения, затухающие от моментов времени соответственно с декрементами у

Во втором приближении надо подставить (35,11) в правую сторону уравнения (35,9) и для членов второго порядка в возмущениях функции распределения и потенциала получаются уравнения

(35,12)

где

(35,14)

Интересующий нас эффект эхо с волновым вектором будет заключен в членах в правой части (35,12), содержащих ). Соберем такие члены в выражении . К моменту времени возмущение происходящее от приложенного при импульса , уже затухнет. Поэтому заранее очевидно, что при подстановке (35,11) в (35,14) надо учесть в лишь член с интересующие нас члены вида

получатся при этом от членов в содержащих .

После выполнения интегрирования по в (35,14) получим в результате

(35,16)

причем, как всегда, переменную интегрирования надо понимать как

Интеграл (35,16) можно вычислить с учетом того, что предполагается большим Для этого смещаем в нижнюю полуплоскость комплексной переменной со контур интегрирования, «зацепляющийся» при этом за полюсы подынтегрального выражения. Эти полюсы расположены в нулях функций и в точке Первые из них имеют отличные от нуля отрицательные мнимые части или и вклады от них в интеграл (вычеты в полюсах) затухают с увеличением как Незатухающий же вклад возникает только от вещественного полюса Таким образом, получим

Возвращаясь к уравнениям (35,12-13) и подставив из первого уравнения во второе, находим

При вычислении производной надо дифференцировать только экспоненциальный множитель в (35,17), поскольку .

Собирая теперь полученные выражения (35,15-18) и совершая обратное преобразование Фурье, получим интересующий нас потенциал эха с волновым вектором в виде

(35,19)

Амплитуду выпишем сразу в асимптотическом пределе при . В этом пределе интеграл по определяется вычетом подынтегрального выражения только в полюсе Окончательно находим

(35,20)

где

Это выражение—амплитуда эха—максимально при причем максимальное значение пропорционально , т.е. промежутку времени между двумя импульсами. По обе стороны от максимума амплитуда убывает, но по различным законам. Асимптотически при интеграл (35,20) определяется вычетом подынтегрального выражения в его полюсе с наименьшей по величине отрицательной мнимой частью; этот полюс лежит при и его мнимая часть

Рис. 10.

По другую же сторону от максимума, при интеграл определяется вычетом в полюсе при для которого (путь интегрирования должен быть при этом смещен в верхнюю полуплоскость комплексного v). В результате находим, что

(35,21)

Таким образом, амплитуда эха перед достижением его максимума возрастает с инкрементом а за максимумом убывает с декрементом

Рис. 10 иллюстрирует рассмотренное явление: первые две кривые изображают ход изменения потенциала в двух импульсах, приложенных в моменты и , а третья кривая — форму эха. Около кривых указаны соответствующий декремент или инкремент.

Изложенные расчеты произведены в пренебрежении столкновениями. Поэтому условие применимости количественной формулы (35,20) требует, чтобы к заданному моменту t осцилляции функции распределения не успели еще затухнуть под влиянием столкновений. Забегая вперед и воспользовавшись результатами задачи к § 41, можно сформулировать это условие в виде

(35,22)

- средняя частота кулоновских столкновений электрона.