§ 38. Гидродинамика двухтемпературной плазмы

В особенности простое теоретическое описание допускает двухтемпературная плазма, в которой

Мы уже видели в § 33, что в этом случае в плазме могут распространяться незатухающие ионно-звуковые волны со скоростью Эта же скорость будет вообще характерна для распространения возмущений в плазме. Поскольку в то же время она велика (в силу (38,1)) по сравнению с тепловыми скоростями ионов, то для большинства задач о движении плазмы можно вообще пренебречь тепловым разбросом скоростей ионов. Движение ионной компоненты плазмы будет тогда описываться в «гидродинамическом приближении» скоростью задаваемой как функция точки в пространстве (и времени) и удовлетворяющей уравнению

ИЛИ

К этому уравнению добавляется уравнение непрерывности

и уравнение Пуассона, определяющее потенциал электрического поля (а с ним и напряженность ):

Что же касается электронов, то при движениях плазмы со скоростями их распределение адиабатически следует за распределением поля. Как мы видели в § 36, конкретное выражение для электронной плотности при этом существенно зависит от характера поля. Для поля без потенциальных ям оно дается просто формулой Больцмана (37,7), так что уравнение (38,4) принимает вид

Уравнения (38,2-3) и (38,5) составляют полную систему уравнений для функций v, N и . Она может быть еще упрощена для квазинейтральной плазмы. В этом случае согласно (37,8) имеем

и (38,2) можно переписать в виде

Система уравнений (38,3) и (38,7) формально тождественна уравнениям гидродинамики изотермического идеального газа с массой частиц М и температурой . Скорость звука в таком газе равна соответствии с выражением (33,5) для скорости ионно-звуковых волн; дисперсия волн в этом приближении отсутствует.

Установленная аналогия с гидродинамикой нуждается в существенной оговорке. Как известно, система гидродинамических уравнений далеко не всегда имеет непрерывные во всем пространстве решения. Отсутствие непрерывного решения в обычной гидродинамике означает образование ударных волн — поверхностей, на которых физические величины испытывают разрывы. В бесстолкновительной гидродинамике не существует ударных волн, поскольку они по самой своей природе связаны с отсутствующей в данном случае диссипацией энергии. Отсутствие непрерывных решений означает здесь, что в некоторой области пространства нарушается предположение о квазинейтральности плазмы. В таких областях (их условно называют бесстолкновительными ударными волнами) зависимость физических величин от координат и времени оказывается осциллирующей, причем характерная длина волны этих осцилляций, определяется не только характерными размерами задачи, но и внутренним свойством плазмы ее дебаевским радиусом.

Вернемся к более общим уравнениям (38,2-4), не предполагающим квазинейтральности плазмы. Важным свойством этих уравнений является существование у них одномерных решений, в которых все величины зависят от переменных только в комбинации с постоянной . Такие решения описывают волны, распространяющиеся со скоростью и без изменения своего профиля. Если перейти к системе отсчета, движущейся относительно исходной системы со скоростью и, то в этой системе движение плазмы будет стационарным. Наиболее интересными из решений этого типа являются решения, периодические в пространстве, и решения, убывающие в обе стороны на бесконечности. Рассмотрим здесь именно последние так называемые уединенные волны, или солитоны (А. А. Ведете, Е. П. Велихов, Р. 3. Сагдеев, 1961).

Обозначив штрихом дифференцирование по , получим из (38,2-3)

(для упрощения полагаем ).

Интегрируя эти уравнения с граничными условиями при , найдем

Уравнение же (38,4) дает или, после умножения на и интегрирования,

(38,10)

При этом функция берется из (38,9), определяется формулами § 36. Отметим, что в рассматриваемой волне всегда , как это видно из (38,8). Потенциальная энергия электрона в таком поле , т. е. по отношению электронам поле имеет характер потенциальной ямы.

Уравнением (38,10) задача об определении профиля волны сводится к квадратурам. При этом скорость и оказывается непосредственно связанной с амплитудой волны максимальный значением функции (обозначим это значение через ). Действительно, при должно быть

Прировняв нулю интеграл в правой стороне (38,10) (и осуществив в нем интегрирование первого члена), получим уравнение

которое и определяет в принципе зависимость и от При этом, очевидно, должно быть

(38,12)

Это условие, вообще говоря, устанавливает верхнюю границу возможных значений амплитуды волны (а с нею и скорости ).

Отметим еще, что для полного пренебрежения столкновениями необходимо, чтобы частота поля со была велика по сравнению с характерными частотами соударений как электронов так и ионов Но поскольку (см. § 43), то возможна ситуация, когда . В таком случае столкновения по-прежнему не влияют на движение ионов, но распределение электронов можно считать больцмановским и при наличии потенциальных ям.

Задача

Определить профиль и скорость уединенной волны небольшой интенсивности в плазме с электронами, распределенными согласно (36,11) (А. В. Гуревич, 1967).

Решение. В (36,11) должны быть сохранены все члены; возникновение уединенной волны связано именно с последним, нелинейным членом в этом выражении. Вычисление по (38,11) приводит к результату

Профиль волны находится интегрированием уравнения (38,10) и имеет вид