§ 101. Релаксация параметра порядка вблизи точки фазового перехода второго рода

Как известно, изменение состояния тела при фазовом переходе второго рода описывается параметром порядка отличным от нуля по одну сторону точки перехода (в «несимметричной» фазе) и равным нулю по другую сторону (в «симметричной» фазе). В V, гл. XIV, речь шла о термодинамически равновесных свойствах тел вблизи точек перехода. Обратимся теперь к процессу релаксации параметра порядка в неравновесной системе.

Равновесное значение параметра порядка (которое мы будем обозначать здесь как ) определяется минимизацией соответствующего термодинамического потенциала. Имея в виду рассмотреть как пространственно-однородный, так и неоднородный случай, будем пользоваться потенциалом — функцией температуры Т и химического потенциала , (при заданном полном объеме тела) — ср. V, § 146.

В пространственно-однородном теле значение ) определяется минимумом (термодинамический потенциал единицы объема) как функции параметра при заданных Т и

Если это условие не выполнено, то возникает процесс релаксации—параметр меняется со временем, стремясь к . В слабо неравновесном состоянии, т. е. при отличных от нуля, но малых значениях производной мала также и скорость релаксации производная .

В теории Ландау, в которой пренебрегается флуктуациями параметра порядка, следует считать, что связь между этими двумя производными сводится к простой пропорциональности:

с постоянным коэффициентом (Л. Д. Ландау, И. М. Халатников, 1954).

В теории Ландау термодинамический потенциал вблизи точки перехода имеет вид

(101,3)

с положительным коэффициентом если несимметричной фазе отвечает область , то и (см. V, (146,3)). Равновесное значение параметра порядка в несимметричной фазе решение уравнения (101,1) - есть

Уравнение же релаксации (101,2) принимает вид

или, линеаризуя по малой разности ,

где

(101,6)

При разность должна стремиться к нулю; поэтому должно быть а потому и

Аналогичным образом рассматривается релаксация в области Здесь и линеаризованное выражение производной

Соответственно вместо (101,6) получается

Величина представляет собой время релаксации параметра порядка. Мы видим, что оно стремится к бесконечности при . Это обстоятельство имеет важное принципиальное значение для всей теории фазовых переходов. Как уже отмечалось в V, § 143, оно обеспечивает существование макроскопических состояний, отвечающих неполному равновесию при заданных неравновесных значениях .

Именно благодаря этому обстоятельству имеет смысл излагаемая в этом и следующем параграфах теория, в которой релаксация параметра порядка рассматривается независимо от релаксации других макроскопических характеристик тела.

В пространственно-неоднородной системе надо рассматривать полный термодинамический потенциал, даваемый интегралом

(101,8)

(см. V, (146,5)). Соответствующее условие равновесия получается варьированием интеграла по т] и приравниванием вариации нулю. Преобразовав интеграл от вариации градиентного члена по частям, получим условие равновесия в виде уравнения

(для определенности рассматриваем несимметричную фазу — область ). Соответственно появляется дополнительный член и в релаксационном уравнении:

Для каждой из пространственных фурье-компонент функции отсюда получается уравнение

Мы видим, что время релаксации для компонент с остается при конечным, но растет при уменьшении k.

Наконец, если ввести в член описывающий воздействие на переход внешнего поля (см. V, (146,5)), то релаксационное уравнение примет вид

(101,11)

Полагая поле периодическим,

получим отсюда соотношение

с обобщенной восприимчивостью

(101,12)

Отметим, что это выражение имеет полюс при — в согласии со сделанным в конце § 91 общим утверждением. При оно сводится к согласии с V, (144,8).

Согласно флуктуационно-диссипационной теореме, обобщенная восприимчивость (101,12) определяет спектральный коррелятор флуктуаций параметра порядка по формуле (в классическом пределе )

(101,13)

Напомним, что это пространственно-временная фурье-компонента коррелятора средние же значения произведений фурье-компонент флуктуаций связаны с функцией соотношением

Интегрирование (101,13) по дает пространственную фурье-компоненту одновременного коррелятора

(101,14)