§ 87. Скин-эффект в инфракрасной области

Мы рассмотрели, таким образом, два предельных случая скин-эффекта: нормальный эффект, когда наименьшим из трех характерных размеров является длина пробега I, и аномальный эффект, когда наименьшей является глубина проникновения . Теперь мы рассмотрим третий случай, когда наименьшей длиной является

К этому случаю мы приходим естественным образом от аномального скин-эффекта при дальнейшем увеличении частоты; хотя глубина проникновения при этом убывает, но произведение возрастает как в обычных металлах условия (87,1) осуществляются в инфракрасной области.

Условия (87,1) ограничивают область частот снизу. Но справедливость излагаемых ниже результатов, основанных на теории ферми-жидкости, ограничена также и сверху условием Нарушение этого условия приводило бы к возбуждению квазичастиц из глубины ферми-распределения, не имеющих смысла в рамках теории ферми-жидкости.

Для определения связи между током и электрическим полем надо снова обратиться к кинетическому уравнению.

Но теперь член с производной по времени в силу условия велик по сравнению с членом с пространственными производными, а в силу условия - также и по сравнению с интегралом столкновений. После пренебрежения этими членами кинетическое уравнение принимает вид

Написав находим отсюда

Отсутствие в кинетическом уравнении члена с производными по координатам означает отсутствие пространственной дисперсии. В этом смысле скин-эффект снова становится «нормальным». Присутствие члена с производной по времени приводит, однако, к частотной дисперсии проводимости. Ситуация здесь такая же, как при вычислении диэлектрической проницаемости бесстолкновительной плазмы. Отличие состоит лишь в анизотропии металла и в ферми-жидкостных эффектах. Последние проявляются в том, что плотность тока выражается интегралом, зависящим не только от функции распределения но и от функции взаимодействия квазичастиц (электронов проводимости) . Обратим внимание на то, что ввиду наличия в кинетическом уравнении члена исключение взаимодействия квазичастиц путем введения эффективной функции распределения оказывается здесь невозможным.

Согласно (74,21-22), плотность тока выражается через поправку к функции распределения электронов формулой

где - единичный вектор в направлении скорости совпадающий с вектором нормали к ферми-поверхности. Подставив сюда функцию из (87,2), найдем связь тока с полем в виде где тензор проводимости

Симметрия тензора определяется симметрией кристалла (и не зависит от направления поля, как это было в (86,15)).

В кристалле кубической симметрии (которую будем предполагать ниже для простоты) этот тензор, а с ним и сводится к скаляру, и тогда

Описание свойств металла с помощью этой проводимости можно обычным образом заменить описанием с помощью диэлектрической проницаемости

Обозначение введено по аналогии с известным (см. VIII, § 59) предельным выражением диэлектрйческой проницаемости при очень больших частотах: , где N — полное число электронов в единице объема вещества. Таким образом, величина играет в инфракрасной оптике металлов роль эффективного числа электронов; она зависит от функции взаимодействия электронов проводимости.

Наряду с числом N целесообразно ввести также и эффективную плазменную частоту

Тогда проводимость запишется в виде

Величина определяется только параметрами электронного спектра металла; в грубой оценке она совпадает поэтому с параметром - граничной энергией Ферми. Поскольку излагаемая теория ограничена условием то и .

Проникновение поля в металл описывается уравнением (86,4), которое после подстановки из (87,7) принимает вид

Его решение, обращающееся в нуль при

(для типичных металлов ). Таким образом, поле затухает по экспоненциальному закону с независящей от частоты глубиной проникновения. Связь между электрическим и магнитным полями дается теперь (как легко снова убедиться с помощью первого из уравнений (86,3)) соотношением (86,8) с импедансом

Чисто мнимый импеданс означает полное отражение электромагнитной волны от поверхности металла, без диссипации. Этот результат естествен, поскольку в рассмотренном приближении не учитывались столкновения электронов, являющиеся источником диссипации.

Отметим, что с учетом (87,7) основные условия применимости рассматриваемой теории можно записать как

(87,10)

Левое неравенство обычно совместно с неравенством ( - дебаевская температура). В этом случае фермиевский параметр и функция в формуле (87,3) должны браться не на самой ферми-поверхности, а при . Как было показано в IX, § 65, электрон-фононное взаимодействие приводит к тому, что в этой области отличается от в области (существенной, например, для статических свойств металла при низких температурах); то же самое относится и к функции взаимодействия квазичастиц .