§ 6. Кинетическое уравнение для слабо неоднородного газа

Для того чтобы включить в рассмотрение диссипативные процессы (теплопроводность и вязкость) в слабо неоднородном газе, надо обратиться к следующему (после рассмотренного в предыдущем параграфе) приближению. Вместо того чтобы считать функцию распределения в каждом участке газа просто локальноравновесной функцией учтем теперь также и небольшое отличие от , т. е. напишем в виде

где -малая поправка Последнюю целесообразно представлять в написанном здесь виде, вынеся из нее множитель для распределения Больцмана эта производная отличается лишь множителем от самой функции Поправка должна в принципе определяться путем решения линеаризованного по отношению к ней кинетического уравнения.

Помимо самого кинетического уравнения, функция должна удовлетворять еще и определенным дополнительным условиям. Дело в том, что есть равновесная функция распределения, отвечающая заданным (в рассматриваемом элементе объема) плотностям числа частиц, энергии и импульса газа, т. е. заданным значениям интегралов

Неравновесная функция распределения (6,1) должна приводить к тем же значениям этих величин, т. е. интегралы с f и должны быть одинаковыми.

Это значит, другими словами, что функция должна удовлетворять условиям

Подчеркнем, что само понятие температуры в неравновесном газе становится определенным лишь в результате приписывания интегралам (6,2) определенных значений. Это понятие имеет безусловный характер лишь в полностью равновесном состоянии газа в целом; для определения же температуры в неравновесном газе требуется дополнительное условие, каковым и служит задание указанных значений.

Преобразуем, прежде всего, интеграл столкновений в кинетическом уравнении (3,8). При подстановке в него функций в виде (6,1) члены, не содержащие малой поправки , взаимно сокращаются, поскольку равновесная функция распределения обращает интеграл столкновений в нуль. Члены первого порядка дают

где обозначает линейный интегральный оператор

Здесь использовано равенство множитель может быть вынесен из-под знака интеграла, поскольку по не производится интегрирования.

Обратим внимание на то, что интеграл (6,5) тождественно обращается в нуль для функций

(6,6)

(где — постоянный вектор); обращение в нуль для второй и третьей из этих функций связано с сохранением энергии и импульса в каждом столкновении. Будучи независимыми от времени и координат, функции (6,6) удовлетворяют, следовательно, и всему кинетическому уравнению.

Эти решения имеют простое происхождение. Кинетическому уравнению тождественно удовлетворяет равновесная функция распределения с любыми (постоянными) плотностью частиц и температурой. Поэтому ему автоматически удовлетворяет и малая поправка

возникающая при изменении плотности на ; отсюда возникает первое из решений (6,6).

Аналогичным образом удовлетворяет уравнению и добавка

возникающая в результате изменения Т на малую постоянную величину . Производная же складывается из члена вида (происходящего от дифференцирования нормировочного множителя в ) и из члена, пропорционального отсюда и возникает второе из решений (6,6). Третье же из этих решений возникает как выражение галилеевского принципа относительности: равновесная функция распределения должна удовлетворять кинетическому уравнению также и после перехода к любой другой инерциальной системе отсчета. При переходе к системе, движущейся относительно первоначальной с малой постоянной скоростью , скорости молекул v заменяются так что функция распределения получает приращение

чему и отвечает третье из решений (6,6). «Паразитные» решения (6,6) исключаются наложением трех условий (6,3).

Преобразование левой стороны кинетического уравнения произведем сразу в общем виде, охватывающем как задачу о теплопроводности, так и задачу о вязкости. Другими словами, допускаем существование градиентов всех макроскопических характеристик газа, в том числе его макроскопической скорости V.

Равновесная функция распределения в неподвижном (V = 0) газе есть распределение Больцмана, которое напишем в виде

где - химический потенциал газа. Распределение же в движущемся газе отличается от (6,7) (как уже было отмечено в § 5) лишь галилеевским преобразованием скорости. Для того чтобы написать эту функцию в явном виде, выделим из полной энергии молекулы s (Г) кинетическую энергию ее поступательного движения:

внутренняя энергия включает в себя энергию вращения молекулы и колебательную энергию. Заменив v на , получим распределение Больцмана в движущемся газе:

В слабо неоднородном газе зависит от координат и времени, причем эта зависимость возникает через посредство меняющихся вдоль газа (и со временем) его макроскопических характеристик скорости V, температуры Т и давления Р (а с ними и ). Поскольку градиенты этих величин предполагаются малыми, в левой стороне кинетического уравнения достаточно (в - рассматриваемом приближении) подставить вместо

Вычисления можно несколько упростить, учтя очевидную независимость интересующих нас в конечном счете кинетических коэффициентов от скорости V. Поэтому достаточно рассмотреть какую-либо одну точку в газе и выбрать в качестве таковой ту, в которой скорость V (но, конечно, не ее производные) равна нулю.

Продифференцировав выражение (6,9) по времени и положив затем получим

Согласно известным термодинамическим формулам имеем

где w, s и 1/N - тепловая функция, энтропия и объем, отнесенные к одной частице газа. Поэтому

Аналогичным образом найдем

где для краткости введено обозначение

в последнем члене в (6,11) произведена тождественная замена

Левая сторона кинетического уравнения получается сложением выражений (6,10-11). При этом все производные по времени от макроскопических величин могут быть выражены через их пространственные градиенты согласно гидродинамическим уравнениям идеальной (т. е. невязкой и нетеплопроводящей) среды; учет диссипативных членов здесь привел бы к величинам высшего порядка малости.

В точке, в которой уравнение Эйлера дает

В той же точке из уравнения непрерывности имеем или

(использовано уравнение состояния идеального газа ). Наконец, уравнение сохранения энтропии, дает , или

где использованы термодинамические формулы

(с — теплоемкость, тоже отнесенная к одной молекуле); вторая из этих формул относится к идеальному газу. Из равенств (6,14-15) находим

(учтено, что для идеального газа ).

Простое вычисление приводит теперь к результату

Подчеркнем, что до сих пор не делалось никаких специфических предположений о характере температурной зависимости термодинамических величин; использовалось лишь общее уравнение состояния идеального газа. Для газа же с классическим вращением молекул и невозбужденными колебаниями теплоемкость не зависит от температуры и тепловая функция

Тогда последний член в (6,17) упрощается; приравняв (6,17) и (6,4), напишем окончательно кинетическое уравнение в виде

В следующих двух параграфах это уравнение будет рассмотрено более подробно в применении к задачам о теплопроводности и вязкости.

Напомним, что уже из закона возрастания энтропии следует, что градиент давления (в отсутствие градиентов температуры и скорости) не приводит к возникновению диссипативных процессов (ср. VI, § 49). В кинетическом уравнении это требование удовлетворяется автоматически и проявляется в выпадении градиента давления из левой стороны (6,19).