§ 97. Высокочастотные свойства сверхпроводников. Предельные случаи

Перейдем к исследованию общей формулы (96,24). Число предельных случаев здесь очень велико ввиду наличия четырех независимых параметров , которые могут находиться в различных соотношениях между собой. Мы рассмотрим лишь несколько из них. При наличие щели в спектре сверхпроводника несущественно. Положив в первом приближении мы пришли бы к формуле для поперечной диэлектрической проницаемости нормального электронного ферми-газа; мы не станем останавливаться на соответствующих вычислениях.

Лондоновский случай

Рассмотрим лондоновский предельный случай, в котором

где - значение при При этом будем считать, что чем исключается область очень низких температур. Частоту будем считать малой в том смысле, что

При

Поэтому второй член в фигурных скобках в (96,24) мал и им можно пренебречь. В первом же члене первая квадратная скобка заменяется на 2; воспользовавшись нечетностью второй квадратной скобки как функции , пишем после этого:

Заметив, что , где

— функция распределения элементарных возбуждений в сверхпроводящем ферми-газе (распределение Ферми с равным нулю химическим потенциалом), пишем

где

Тогда

При это выражение совпадает, как и следовало, с лондоновским значением , где - плотность сверхпроводящих электронов. Поэтому можно переписать (97,3) в эквивалентном виде:

Второй член в этом выражении описывает вклад в диэлектрическую проницаемость от элементарных возбуждений в ферми-газе.

При можно пренебречь в знаменателе подынтегрального выражения в (97,4):

Интеграл по вычисляется по вычету в полюсе и равен Интеграл же по , переписанный в виде

логарифмически расходится при Обрезав его при значениях (для которых ), получим, с логарифмической точностью,

Таким образом,

Мнимая часть Q определяет диссипацию; ее отрицательный знак отвечает положительному знаку мнимой части диэлектрической проницаемости.

Выражение (97,6) становится непригодным при , когда стремятся к нулю. Главный вклад в интеграл по в (97,5) здесь вносит область в ней можно положить После этого получим

где — плотность электронов. Это выражение отвечает просто аномальному скин-эффекту в нормальном металле (с законом дисперсии ).

Пиппардовский случай

В статическом магнитном поле пиппардовский предельный случай соответствует неравенству

Рассматривая переменное электромагнитное поле, добавим сюда еще и условие

Вычисления в этом случае существенно упрощаются, если предварительно вычесть из выражения (96,24) его статическое значение ; это сводится к отбрасыванию постоянного члена и вычитанию из каждого члена в подынтегральном выражении такого же члена с Разность оказывается пропорциональной Таким же образом зависит от пиппардовское :

(см. IX, (51,21)). Поэтому можно записать в виде

(97,10)

где — подлежащая вычислению функция, обращающаяся при в нуль. Отметим, что ввиду той же зависимости от к остается справедливой формула IX, (52,6) для глубины проникновения , в которой надо лишь заменить на . Но ввиду комплексности (см. ниже) при этом естественно пользоваться не самой , а связанной с ней величиной — поверхностным импедансом .

В интеграле, определяющем разность , существенны (как и при вычислении в IX, § 51) малые значения причем интеграл быстро сходится при увеличении это позволяет положить и распространить интегрирование по от до .

Преобразуем интеграл по

к интегрированию по новым переменным

Имеем

Поэтому интегрирование по можно заменить интегрированием по в пределах от до по каждой из переменных При этом выпадут все члены в подынтегральном выражении, содержащие произведение и потому нечетные по этим переменным.

После этого можно перейти к интегрированию по переменным в пределах от 1 до по каждой из них, заменив

В результате этих преобразований найдем

(97,11)

где Ограничимся рассмотрением мнимой части этого выражения, определяющей поглощение энергии поля.

Мнимая часть подынтегральных выражений в (97,11) отделяется по правилу (29,8), после чего -функции устраняются интегрированием по одной из переменных, или при этом надо следить за тем, чтобы точка обращения в нуль аргумента -функции действительно находилась в области интегрирования. После простых преобразований получим при

(97,12)

второй член существует лишь при Аналогичным образом легко убедиться, что Интеграл (97,12) зависит от двух параметров, которые могут еще находиться в различных соотношениях друг с другом и с единицей. Рассмотрим некоторые из возможных здесь предельных случаев.

Пусть . Тогда первый интеграл в (97,12) обращается в нуль. Второй же интеграл отличен от нуля при , т. е. имеется порог поглощения на «энергии связи» куперовских пар. Наличие этого порога, в чем непосредственно проявляется щель в спектре, есть специфическое свойство сверхпроводника.

Вблизи порога, при во всей области интегрирования х близко к 1. Полагая находим

Собрав написанные выше формулы, находим таким образом следующее выражение для мнимой части Q при вблизи порога поглощения:

При отличной от нуля температуре рассмотрим случай малых частот, причем будем считать, что (исключая тем самым температуры как вблизи нуля, так и вблизи ). Теперь второй интеграл в (97,12) отсутствует. В первом же интеграле существенна область . Разложив в подынтегральном выражении разность двух по степеням и введя переменную , находим, с логарифмической точностью,

В результате получим