§ 59. Кинетические коэффициенты плазмы в сильном магнитном поле

При вычислении кинетических коэффициентов магнитоактивной плазмы надо, как обычно, искать функции распределения частиц в виде , где - малая поправка к локальноравновесному распределению, пропорциональная соответствующему градиенту термодинамических величин. При подстановке такого выражения в кинетическое уравнение, например, для электронов

в первых трех членах в левой стороне полагаем четвертый же член при этом обращается в нуль (поскольку вектор направлен вдоль v); поэтому здесь надо сохранить член с и, таким образом, находим следующее уравнение для

где - линеаризованный интеграл столкновент.

Отметим прежде всего, что коэффициенты продольных электропроводности и теплопроводности вообще не зависят от В, оставаясь равными своим значениям в отсутствие магнитного поля (т. е. обычным скалярным а и ). Действительно, из соображений симметрии заранее очевидно-, что при совпадении направлений векторов Е или с направлением В функция распределения не зависит от угла поворота поперечной скорости в плоскости, перпендикулярной полю В. Между тем

и, следовательно, при магнитное поле вообще выпадает из кинетического уравнения а).

По такой же причине не зависит от магнитного поля (и тем самым совпадает с обычной вязкостью ) также и коэффициент вязкости тот коэффициент, который определяет вязкие напряжения когда скорость V направлена вдоль В (ось ) и зависит только от координаты ; при этом в выражениях (58,16) остаются лишь члены с

Наконец, должен был бы быть не зависящим от поля коэффициент который для указанного распределения скорости дал бы в тензоре напряжений вклад

Но поскольку в отсутствие поля этот эффект вообще отсутствует, то тем самым и при наличии поля. (Отметим, что эта причина не связана с классичностью плазмы, так что равенство имело бы место и в релятивистском случае в противоположность коэффициенту , отличному от нуля в релятивистской плазме.

Вычисление остальных кинетических коэффициентов можно произвести в аналитическом виде в предельном случае сильных магнитных полей, когда (для каждого рода частиц) ларморова частота . В этих условиях столкновения играют роль малой поправки.

Электропроводность

Начнем с вычисления коэффициентов, определяющих электрический ток в плазме. Эти вычисления удобно производить в системе отсчета, в которой данный элемент объема плазмы покоится. Пренебрегая величинами эту систему можно считать совпадающей с системой покоя ионной компоненты. Электрический ток в такой системе чисто электронный. Поэтому надо решать лишь кинетическое уравнение для электронов.

Левая сторона кинетического уравнения должна была бы быть преобразована с помощью гидродинамических уравнений, подобно тому, как это было сделано в § 6 для обычного газа. При этом в выбранной системе отсчета в рассматриваемой точке макроскопическая скорость (но, конечно, не ее производные) равна нулю.

В полном проведении этих вычислений, однако, в данном случае (для электронов) нет необходимости. Прежде всего замечаем, что можно вообще опустить член Дифференцирование по времени приводит к появлению членов с производными . Из них первые две выражаются через скаляр , но такие члены, как нам уже известно, в случае одноатомного газа (каковым является плазма) все равно взаимно сокращаются. Производная же выраженная из гидродинамического уравнения (58,3), содержит множитель , т. е. множитель учет таких членов в кинетическом уравнении привел бы лишь к поправкам которыми мы не интересуемся.

Далее, можно положить в (59,2) Е = 0, поскольку заранее известно, что Е может войти в искомый ток j лишь в виде суммы

Наконец, поскольку мы не имеем в виду вычислять независящие от магнитного поля «продольные» кинетические коэффициенты , то можно считать все термодинамические величины плазмы зависящими лишь от координат в плоскости, перпендикулярной направлению В. Обозначив оператор дифференцирования в этой плоскости посредством напишем, таким образом, кинетическое уравнение в виде

В свою очередь это уравнение можно решать последовательными приближениями по степеням . Первому приближению (которое отметим индексом ) отвечает полное пренебрежение интегралом столкновений, т. е. уравнение

. Решение этого уравнения:

в чем легко убедиться прямой подстановкой. Заранее очевидно, что с его помощью можно вычислить только бездиссипативные кинетические коэффициенты: в отсутствие столкновений диссипация энергии отсутствует.

Плотность электрического тока дается интегралом

Подставив сюда (59,5), пишем

где усреднение производится по максвелловскому распределению. В результате находим

Сравнив это выражение с определением коэффициента в (58,13), получим

В следующем приближении ищем решение уравнения (59,3) в виде и для находим уравнение

(оператор нельзя выносить из-под знака поскольку в линеаризованном интеграле столкновений подынтегральное выражение содержит в своих коэффициентах зависящие от координат величины, например ).

Как было уже условлено, магнитное поле предполагается настолько сильным, что далее, в этом параграфе будем, однако, считать в то же время, что

(59,10)

, чем величина поля ограничивается сверху. При выполнении этого условия поле почти не искривляет траектории электронов (и уж тем более ионов) в области столкновений и тем самым не оказывает влияния на процесс столкновения. Другими словами, оператор не зависит явно от поля. Но тогда в силу соображений симметрии правая часть уравнения (59,9) должна иметь векторную структуру вида по отношению к переменной v эта структура такая же, как и у правой стороны (59,4) (причем вместо стоит Решение уравнения (59,9) есть поэтому

(59,11)

При вычислении тока отличный от нуля вклад возникает только от -столкновений. Действительно, поскольку столкновения представляют собой в рассматриваемых условиях малый эффект, вклад в проводимость от и -столкновений можно учитывать независимо. Это значит, например, что вклад от -столкновений вычисляется по функции распределения, получающейся в результате решения кинетического уравнения, в правой части которого стоит интеграл только этих столкновений, как если бы с ионами электроны вообще не сталкивались.

Но тогда интеграл с функцией вида (59,11) обращается в нуль, поскольку в силу закона сохранения импульса при столкновениях для произвольной функции распределения имеем тождественно

Таким образом, при вычислении электрического тока надо понимать в (59,11) символ как электрон-ионный интеграл столкновений. При этом

(59,12)

где согласно (44,3)

Вклад в ток от функции распределения (59,11—12) равен

Для вычисления искомых кинетических коэффициентов надо подставить ток в равенство (58,13)

(59,14)

определяющие эти коэффициенты. Положив сначала и собирая члены порядка найдем, что

откуда

(59,15)

где (без указания аргумента) обозначает

(59,16)

Величина (59,15) того же порядка, что и проводимость (43,8) в отсутствие поля, с которой в данном случае совпадает и

Аналогичным образом, положив в (59,14) и снова собирая члены найдем

откуда

(59,17)

Что касается коэффициента а, то он появляется лишь еще в следующем приближении по и оказывается равным (для )

(59,18)

Электронная теплопроводность

Тепловой поток в плазме складывается как из электронной, так и из ионной частей; рассмотрим сначала первую из них. Электронный тепловой поток вычисляется как интеграл

(59,19)

В первом приближении по подставив сюда (59,5), находим

откуда

(59,20)

где -электронная тепловая функция, отнесенная к одному электрону. Сравнив с определением коэффициента 3 в (58,14), получим

(59-21)

В следующем приближении интеграл (59,19) должен быть вычислен с функцией распределения (59,11). В тепловой поток, однако, дают вклад как так и -столкновения. В первом случае снова используем выражения (59,11-12) и находим

откуда

Для нахождения отсюда соответствующей части коэффициента теплопроводности их надо, однако, учесть, еще условие поскольку согласно (58,14) определяется по потоку тепла именно в отсутствие тока. С помощью (59,7) и (59,13) находим, что это условие означает следующее соотношение между градиентами давления и температуры:

(при вычислениях везде пренебрегаем членами более высокого порядка по ). Вычислив с учетом этого соотношения сумму находим

(59,23)

Эта формула имеет простой физический смысл. По порядку величины коэффициент теплопроводности должен быть равен где -теплоемкость электронов в единице объема, — коэффициент диффузии электронов в направлении поперек магнитного поля. Последний в свою очередь оценивается как где - средний квадрат смещения за время . В магнитном поле смещение в поперечном направлении происходит лишь при столкновениях, причем электрон смещается на расстояние . Поэтому откуда и получается (59,23).

Обратимся к вкладу -столкновений. Вычисления здесь более громоздки; наметим их ход.

В функции (59,11) под надо понимать теперь линеаризованный интеграл столкновений Ландау:

где

Интеграл (59,19) с такой функцией распределения после интегрирования по частям принимает вид

(59,25)

Коэффициент в этой формуле написан так, что под в (59,24) надо теперь понимать функцию

При этом дифференцирование достаточно применить только к температуре Т в показателе максвелловской функции

члены, возникающие от дифференцирования предэкспоненциального множителя, взаимно сокращаются.

После простого, хотя и довольно длинного вычисления интеграл (59,25) приводится к виду — где

где а многоточие в фигурных скобках стоит вместо членов, содержащих нечетные степени и обращающихся в нуль при интегрировании. Заметив, что

и выполнив интегрирование по получим окончательно

где

Таким образом, весь электронный вклад в поперечную теплопроводность

Ионная теплопроводность

Отметим прежде всего, что условие применимости рассматриваемого приближения для -столкновений, более сильное, чем для электронов. Поскольку то из следует неравенство более сильное, чем что же касается условия то оно заведомо выполняется, будучи более слабым, чем (59,10).

Кинетическое уравнение для ионов аналогично уравнению (59,2):

(59,29)

При преобразовании его левой части ситуация, однако, отличается от электронного случая. Подставив сюда

мы должны теперь дифференцировать V по t (после чего снова положить, в силу выбора системы отсчета, . При имеем, согласно гидродинамическому уравнению движения:

где давление а плотность . В результате кинетическое уравнение примет вид

(59,30)

где мы снова (как и в (59,3)) положили и написали вместо

Решаем уравнение (59,30) последовательными приближениями по . В первом приближении получим аналогично (59,5):

Но в этом приближении имеем, согласно (59,7), так что

(59,31)

Эта функция распределения не дает, разумеется, вклада в ток как и должно быть в системе отсчета, в которой ионная компонента плазмы покоится. Для потока же тепла находим

откуда

При вычислении потока тепла в следующем приближении существенны только -столкновения: -столкновения дают вклад, в раз меньший ввиду малости изменения импульса иона при столкновениях с электроном. Соответствующие вычисления полностью аналогичны произведенным выше для -столкновений. Ионная часть теплопроводности получается поэтому из (59,26) заменой электронных величин ионными:

Сравнение (59,33) с (59,23) показывает, что (при ) Таким образом, в полях, настолько больших, что поперечная теплопроводность практически целиком ионная. Электронная теплопроводность сравнивается с ионной, когда (при сравнении следует учесть, что в таких полях влиянием магнитного поля на можно пренебречь). При еще меньших полях ионный вклад в становится несущественным; если при этом то дается формулой (59,28).

Вязкость

Импульс движущейся плазмы сосредоточен в основном в ионах, поэтому вязкость определяется ионной функцией распределения. При этом, поскольку соударения иона с электронами мало меняют импульс иона, в кинетическом уравнении надо учитывать только ион-ионные столкновения.

Левая сторона кинетического уравнения (59,29) преобразуется так же, как это было сделано в §§ 6, 8, и принимает тот же вид, что и там. Таким образом, кинетическое уравнение задачи о вязкости:

(59,34)

Решение этого уравнения надо искать в виде

(59,35)

где - линейные комбинации из компонент тензора фигурирующие в выражении тензора вязких напряжений

(59,36)

согласно определениям (13,18) и (58,15); напомним, что все Тензор напряжений вычисляется как интеграл

Подставив сюда (59,35), усреднив по направлениям v по формуле

и сравнив с (59,36), получим

(59,37)

Уравнения, определяющие функции получаются подстановкой (59,35) в (59,34) и приравниванием коэффициентов, стоящих при одинаковых тензорах в обеих сторонах уравнения. Опустив детали этих довольно громоздких вычислений, приведем сразу их окончательные результаты.

Отличные от нуля коэффициенты вязкости возникают уже в пренебрежении интегралом столкновений и потому пропорциональны Коэффициенты же появляются лишь в следующем приближении, с учетом столкновений, и потому пропорциональны

Отметим в заключение, что все полученные в этом параграфе выражения для «поперечных» кинетических коэффициентов имеют смысл и при условиях, более мягких, чем общее условие (58,1). Легко убедиться в том, что поправка к функции распределения оказывается малой, уже если характерные размеры задачи велики лишь по сравнению с ларморовским радиусом соответствующих частиц, чем и обеспечивается применимость указанных выражений. Это условие достаточно и для применимости самих гидродинамических уравнений, если градиенты давления и температуры везде поперечны по отношению к направлению магнитного поля.

В нашем рассмотрении мы везде имели в виду плазму с одинаковыми температурами электронов и ионов. Но ввиду большой разницы масс электронов и ионов нередко осуществляются условия «двухтемпературности». В таком случае также можно сформулировать систему уравнений типа гидродинамических и вычислить фигурирующие в них кинетические коэффициенты.