§ 60. Дрейфовое приближение

Исследуя в предыдущем параграфе кинетические коэффициенты плазмы в сильном магнитном поле, мы пользовались интегралом столкновений Ландау, что подразумевало выполнение неравенства Покажем теперь, как можно освободиться от этого ограничения, т. е. получить формулы, пригодные и в случае полей, настолько сильных, что для электронов выполняется обратное неравенство:

При этом удобно воспользоваться специальным, так называемым дрейфовым приближением, которое производится уже в самом кинетическом уравнении, а не только при его решении.

Это приближение справедливо, если магнитные и электрические поля достаточно медленно меняются в пространстве и во времени. Именно, частота поля со и эффективная частота соударений v должны быть малы по сравнению с ларморовской частотой, а характерное расстояние, на котором меняются поля (обозначим его через ), должно быть велико по сравнению с ларморовским радиусом. Эти условия должны выполняться для каждого сорта частиц, к которым применяется дрейфовое приближение. Ниже в этом параграфе мы будем писать все формулы, для определенности, для электронов (аналогичные формулы для ионов получаются, как всегда, заменами ). Таким образом, будут предполагаться выполненными условия

Основой рассматриваемого метода является приближенное решение уравнений движения заряженных частиц в заданных полях , учитывающее медленность изменения последних как функций Движение частиц в таких полях представляет собой совокупность быстро переменного вращения (с частотой ) по «ларморовским окружностям» вместе с медленно меняющимся перемещением центров этих окружностей (или, как говорят, ведущих центров орбит). Метод решения состоит в выделении быстропеременной, осциллирующей составляющей движения и усреднении по нему.

Представим радиус-вектор и скорость электрона в виде

где R — радиус-вектор ведущего центра орбиты, а -осциллирующий радиус-вектор электрона относительно ведущего центра. В нулевом приближении, в полном пренебрежении пространственной и временной зависимостями поля и столкновениями, мы имеем дело просто с движенцем в скрещенных однородных и постоянных полях Е и В. Как известно (см. II, § 22), в этом случае вектор лежит строго в плоскости, перпендикулярной полю В, и вращается в этой плоскости с постоянной угловой скоростью сове оставаясь неизменным по величине. Радиус окружности связан с постоянной скоростью согласно в векторном виде связь между записывается в виде

где

Центр же орбиты движется со скоростью

где - скорость равномерно-ускоренного движения вдоль магнитного поля, удовлетворяющая уравнению

а

есть скорость перемещения в плоскости, перпендикулярной В (скорость электрического дрейфа).

В дальнейшем мы ограничимся этим приближением и пренебрежем членами, связанными с непостоянством полей Е и В, т. е. фактически будем считать их постоянными. В соответствии с этим мы будем опускать индексы 0 у всех величин.

Сущность дрейфового приближения состоит в переходе в кинетическом уравнении к медленно меняющимся переменным Эти величины вместе составляют пять независимых переменных, от которых зависит функция распределения. Элемент фазового объема в новых переменных имеет вид

где введена удобная для дальнейшего величина

(при проверке соотношения (60,7) следует помнить, что в принятом приближении поля можно считать постоянными).

Выразим через новые переменные плотность тока электронов. Для одного электрона плотность тока есть , где — бегущие координаты точки пространства, а — координаты точки нахождения электрона. Положив пишем

Усредним это выражение по углу вращения с помощью очевидного соотношения

где — двумерные (в плоскости, перпендикулярной магнитному полю) векторные индексы.

Получим

Умножив это выражение на функцию распределения электронов и интегрируя по получим плотность тока в -пространстве:

Первый член в этом выражении отвечает переносу зарядов вместе с перемещающимися ларморовскими кружками, а второй учитывает вращение частиц по этим кружкам. Этот второй член имеет простой физический смысл: если представить его в виде с , то вектор

(60,10)

будет представлять собой намагниченность плазмы, связанную с вращением зарядов. Магнитный момент (60,10) не зависит от знака зарядов и направлен противоположно магнитному полю, т. е. отвечает диамагнетизму.

Преобразуем к новым переменным кинетическое уравнение. Поскольку функция распределения отнесена к тому же элементу фазового пространства, что и раньше (лишь преобразованному к другому виду - (60,7)), то кинетическое уравнение по-прежнему имеет вид или, раскрыв левую часть в новых переменных,

Здесь введены очевидные обозначения для проекций векторов и использованы равенства (60,5-6). Член же с в этом приближении отсутствует, поскольку при дрейфе не меняется.

Перейдем к записи интеграла столкновений в дрейфовых переменных.

Отметим прежде всего, что акт столкновения в этих переменных состоит в «мгновенном» изменении скоростей и перпендикулярных к магнитному полю компонент радиус-вектора центра кружка (что же касается параллельной компоненты, то она практически совпадает с соответствующей координатой самой частицы и при столкновении не меняется).

Столкновения происходят лишь между частицами, проходящими друг мимо друга на прицельных расстояниях , не превышающих радиуса экранирования а: Если мало по сравнению с ларморовскими радиусами сталкивающихся частиц, то магнитное поле вообще не сказывается на процессе рассеяния, поскольку на таких расстояниях поле не искривляет заметным образом траекторий частиц. Описание таких столкновений в терминах дрейфовых переменных вообще не является естественным. Поэтому использование интеграла столкновений в этих переменных целесообразно лишь в условиях, когда по крайней мере для одной из сталкивающихся частиц .

При кулоновском взаимодействии частиц в присутствии магнитного поля, как и в его отсутствие, существенны далекие столкновения и соответственно малые изменения всех переменных. Поэтому произведенный в § 41 вывод интеграла столкновений в -пространстве остается в силе и для интеграла столкновений в пространстве переменных (ось z - вдоль магнитного поля), если теперь вместо компонент импульса ввести четыре переменные и понимать под изменения этих величин при столкновениях.

Интеграл столкновений по-прежнему приводится к виду

(60,12)

(поток по определению имеет компоненты только в плоскости, перпендикулярной В); здесь существенно, что элемент объема в пространстве переменных сводится просто к произведению их дифференциалов; поэтому интеграл столкновений имеет вид обычной дивергенции. Вывод в § 41 требует лишь небольших изменений. Прежде всего, при записи (41,2) было уже учтено, что в силу сохранения импульса Для рассматриваемых дрейфовых переменных такого соотношения, разумеется, нет. Повторив вывод без этого предположения, найдем (скажем, для столкновений электронов с ионами)

(60,13)

где - изменение величин при столкновении, а угловые скобки означают усреднение по столкновениям.

При выводе (60,13) существенно использована также возможность переставить в интеграле столкновений начальное и конечное состояния, после чего становится очевидным сокращение линейных по членов; кроме того, это позволяет производить интегрирование по всему -пространству. В § 41 такое преобразование было сделано в силу симметрии по отношению к обращению времени, связывающей вероятности прямого и обратного столкновений. При наличии магнитного поля такая симметрия имеет место только при условии изменения направления поля В на обратное, так что она связывает вероятности столкновения по существу в различных полях. Однако, мы увидим ниже, что в данном случае симметрия относительно обращения времени восстанавливается интегрированием по прицельным параметрам.

Наконец, в (60,13) использовано, что взаимное рассеяние «кружков» имеет место лишь при их прохождении на расстояниях друг от друга, не превосходящих радиуса экранирования а. Предполагая, что функция распределения мало меняется на таких расстояниях, мы положили приближенно и произвели интегрирование по . В результате в (60,13) осталось лишь интегрирование по а усреднение по столкновениям включает в себя интегрирование по положениям Ниже в конкретных случаях это усреднение будет выражено с помощью соответствующего сечения рассеяния. Сейчас укажем лишь, что средние значения равны нулю. Это видно из того, что произведения (и такие же с Лиц вместо ) образуют вектор в плоскости Поскольку для ларморовских кружков не существует в этой плоскости каких-либо выделенных направлений, указанный вектор должен обратиться в нуль при усреднении.

Важное свойство интеграла столкновений в дрейфовых переменных состоит в том, что его добавление к кинетическому уравнению изменяет выражение для потока частиц (в обычном пространстве!) через функцию распределения. Чтобы убедиться в этом, запишем кинетическое уравнение в виде

(ввиду предполагаемого постоянства В и Е можно ввести V под знак производной). Проинтегрировав это уравнение по получим

(60,15)

(индекс у электронных переменных для краткости опускаем); — пространственная плотность числа кружков; выражение под знаком есть, следовательно, плотность потока этих кружков.

Мы видим, что к обычному выражению добавляется еще связанный со столкновениями член

Этот член представляет собой по существу диффузионный поток в поперечном к магнитному полю направлении. При таком описании (в отличие от обычного описания диффузии) он входит непосредственно в кинетическое уравнение.

При использовании этих выражений следует, конечно, учитывать, что плотность электрического тока связана с потоком истинных частиц, а не кружков. Поток частиц согласно (60,9) отличается от потока кружков членом с ротором, описывающим намагниченность. Окончательное выражение для плотности тока электронов имеет поэтому вид

(60,16)

Выражение (60,13) приобретает реальный смысл лишь после вычисления фигурирующих в нем средних значений. Покажем, как это делается на примере электронного интеграла для электрон-ионных столкновений.

Вычисления производятся различным образом в двух областях значений прицельных параметров , определяемых неравенствами:

(60,17)

Заметим, что интегрирования по параметру будут, как обычно при кулоновском рассеянии, иметь логарифмический характер. С логарифмической точностью можно не делать различия между сильными и слабыми неравенствами. Поэтому области (60,17) перекрывают по существу весь интервал изменения прицельного параметра (в соответствии с (60,1) предполагается, конечно, что Для существования области I необходимо также, чтобы было

(60,18)

где - прицельное расстояние, на котором угол рассеяния делается (мы рассматриваем здесь только квазиклассический случай ).

В то же время будем считать, что . Тогда для всех прицельных параметров а влияние магнитного поля на движение ионов (в процессе столкновения) несущественно: траектория иона мало искривляется полем на расстояниях .

При этом можно пренебречь (в пределе ) отдачей ионов, т. е. положить равными нулю изменения всех характеризующих его переменных . Тогда в (60,13) исчезает второй член в фигурных скобках, так что электрон-ионная часть электронного тока принимает вид

(60,19)

Величины составляют пространственный тензор, поперечный к направлению поля. Представим его в виде

(60,20)

выражающем эту поперечность явным образом. Поток же (60,19) запишется тогда как

(60,21)

где — -оператор дифференцирования в поперечных к b направлениях.

Аналогичные (60,19) выражения для «скоростных потоков»:

(60-22)

В равновесии, т. е. для максвелловского распределения

(60,23)

интеграл столкновений должен обращаться в нуль. Подставив (60,23) в (60,22) и приравняв потоки нулю, найдем

Вычислим сначала вклад от области I. В этой области можно считать, что магнитное поле вообще не сказывается на процессе рассеяния, поскольку на таких расстояниях не искривляется заметным образом траектория не только иона, но и электрона. Естественной переменной для описания столкновения является при этом обычный импульс электрона , через который и надо выразить дрейфовые переменные.

Согласно (60,3-4), (60,8) имеем

Имея в виду, что координаты частицы (в отличие от координат центра орбиты R!) не меняются при столкновении, находим отсюда

(60,25)

где - малое изменение импульса .

Отмечая индексом I вклад от рассматриваемой категории столкновений, пишем теперь

(60,26)

где -сечение рассеяния электрона на неподвижном ионе. Взяв последнее из (41,6) и произведя интегрирование, получим

(60,27)

где - угол между v и b, а

(60,28)

геыве

— кулоновский логарифм, «обрезанный» сверху на прицельных расстояниях (верхняя граница области I). Наконец, выразив этот результат через дрейфовые переменные, окончательно находим

Аналогичное вычисление дает

(60,30)

а оставшиеся две величины определяются из (60,24).

Обратимся к области II. Здесь естественными являются именно дрейфовые переменные и столкновение описывается как дрейфовое отклонение кружка, летящего в направлении b (ось ) в кулоновском поле неподвижного иона.

При дрейфе скорость а значит, и не меняются; в силу закона сохранения энергии при рассеянии на тяжелом ионе, это в свою очередь приводит к сохранению Поэтому область II не вносит вклада в величины (60,24).

Вклад же в вычисляется как

(60,31)

где - значение радиус-вектора центра кружка до столкновения. Изменение при пролете кружка в постоянном и однородном магнитном поле В и постоянном электрическом поле (поле иона) определяется уравнением дрейфа

(см. (60,6)). В первом приближении можно положить в правой стороне этого уравнения Полное изменение при столкновении получается интегрированием (60,32) по t от до и равно

(60.33)

Подставив это выражение в (60,31) и произведя интегрирование (с логарифмической точностью, отвечающей границам области II), найдем

(60,34)

Вклады (60,29) и (60,34) имеют, вообще говоря, одинаковый порядок величины

где - средняя частота электрон-ионных столкновений. Особенность вклада (60,34) состоит, однако, в том, что он обращается в бесконечность при вне зависимости от значения Физический смысл этой расходимости состоит в том, что при малой скорости кружок долго находится в поле иона и за это время дрейф уносит его на большое расстояние.

В действительности, конечно, формула (60,34) становится неприменимой при малых им по ряду причин: 1) если то при за время столкновения ион может уйти от электрона; этот механизм «обрезает» расходимость при при выводе формулы во всяком случае подразумевается, что кружок может уйти от данного иона за счет дрейфа в поле других частиц (тройное столкновение).

Написанные формулы решают вопрос о составлении кинетического уравнения в дрейфовом приближении. Оно позволяет, в частности, находить кинетические коэффициенты плазмы в первом неисчезающем по приближении (см. задачу 1).

Наконец, осталось объяснить, каким образом интегрирование по формально восстанавливает симметрию по отношению к обращению времени, что уже было использовано при записи (60,13). Нарушение этой симметрии проявляется в изменении знака отклонения в (60,33) при изменении направления В на обратное. Прежний знак можно восстановить, однако, произведя замену переменной интегрирования так что изменение знака В в этом приближении нигде сказаться не может (в области же I магнитное поле вообще не влияет на процесс рассеяния).