§ 64. Неустойчивость при слабой связи двух ветвей спектра колебаний

Применим развитый в §§ 62, 63 общий метод к исследованию неустойчивости, возникающей благодаря «взаимодействию» колебаний с близкими значениями и , относящихся к двум ветвям колебательного спектра бездиссипативной системы; под бездиссипативностью подразумевается здесь отсутствие как истинной диссипации, так и затухания Ландау.

Если бы две ветви были полностью независимы, то это значило бы, что дисперсионное уравнение распадается на два множителя:

Вблизи точки пересечения таких ветвей функции имели бы в общем случае вид

где - некоторые постоянные, а — значения (вещественные!) и k в точке пересечения.

Такой случай, однако, вообще говоря, нереален. Связь между двумя ветвями могла бы строго отсутствовать, в лучшем случае, при каких-то специфических значениях параметров системы, но появилась бы уже при малейшем их изменении. Для отражения реальной ситуации надо поэтому учесть наличие слабой связи между ветвями. Она проявляется в замене нуля в правой стороне уравнения (64,1) на некоторую малую величину . Тогда дисперсионное уравнение вблизи этой точки примет вид

Его решение относительно

а относительно

Наличие связи между ветвями сдвигает точку их пересечения в комплексную область. Зависимости же для вещественных имеют различный характер в зависимости от знака постоянной и относительного знака постоянных Эти зависимости изображены на рис. 23 для следующих случаев:

Рассмотрим эти случаи поочередно.

А) Здесь функции вещественны при всех (вещественных) k, так что система устойчива.

Рис. 23.

Вещественны, также функции при всех , так что при всех со волны распространяются не усиливаясь.

Б) Функции вещественны при всех к, так что система устойчива. Функции же комплексны в области частот

Ввиду устойчивости системы, в этой области имеет место непропускание.

В) При

функции комплексны, причем для одной из них т. е. имеет место неустойчивость. Эта неустойчивость — конвективная; действительно, при корни имеют вид

и при оба лежат в одной и той же полуплоскости k. Пусть тогда эта полуплоскость — верхняя и корни относятся к категории . При вещественных же со в области (64.7) корни составляют пару комплексно-сопряженных величин. Тот из них, для которого перешел из верхней полуплоскости в нижнюю. Следовательно, в полосе частот (64.7) имеет место усиление волн, распространяющихся в направлении

Легко также найти для этого случая определенную согласно (62,14) «групповую скорость» волн — скорость системы отсчета, в которой имеет место абсолютная неустойчивость с максимальным инкрементом. Продифференцировав уравнение (64,3) по k и подставив согласно получим

Поскольку левая сторона этого равенства вещественна, то должна быть вещественной (при комплексном ) также и правая сторона. Из этого условия находим, что после чего из (64,10) находим скорость

(64,11)

а из - соответствующий максимальный инкремент

(64,12)

Г) Функции вещественны при всех (вещественных) , но функции комплексны в области (64,8), так что система неустойчива. Для выяснения характера этой неустойчивости замечаем, что согласно (64,9) (при различных знаках и ) при корни лежат в различных полуплоскостях. Эти два корня имеют точку слияния в верхней полуплоскости со при

(64,13)

Это значит, что неустойчивость абсолютная, с инкрементом . При что соответствует картине возмущения в системе отсчета, движущейся со скоростью (64,11), инкремент достигает максимального значения (64,12).