§ 95. Кинетическое уравнение в диаграммной технике

Покажем на простом примере, каким образом осуществляется переход от уравнений типа (94,16-17) к обычному квазиклассическому кинетическому уравнению. Мы рассмотрим слабо неидеальный ферми-газ при температурах предполагая выполненными условия квазиклассичности: промежутки времени и расстояния L, на которых существенно меняются все величины, удовлетворяют неравенствам

(ср. § 40). Хотя мы, естественно, не получим в этом случае ничего нового, вывод содержит поучительные моменты, полезные и в более сложных случаях.

Квантовое кинетическое уравнение должно определять одночастичную матрицу плотности . Для перехода к квазиклассическому случаю целесообразно воспользоваться ее смешанным координатно-импульсным представлением, произведя фурье-разложение по разности и оставив координатную зависимость от . При этом

так что соответствующий фурье-образ есть

Обратное преобразование:

Интегрирование функции по координатам дает функцию распределения частиц по импульсам, как это видно из выражения этого интеграла через исходную матрицу плотности:

Интегрирование же по импульсам дает распределение по координатам, т. е. пространственную плотность числа частиц, как это снова видно из выражения через матрицу плотности:

Самое же функцию , в общем квантовом случае отнюдь нельзя рассматривать как функцию распределения по координатам и импульсам одновременно; не говоря уже о том, что это противоречило бы основным принципам квантовой механики, определенная согласно (95,2) функция в общем случае даже не положительна).

Функция имеет, однако, буквальный смысл функции распределения в квазиклассическом приближении. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим оператор какой-либо физической величины, относящейся к отдельной частице и зависящей от :

По определению матрицы плотности, среднее значение величины дается интегралом

где действует на переменную Подставим сюда в виде (95,3) и учтем, что при условиях (95,1) является более медленно меняющейся функцией (чем множитель . Поэтому достаточно дифференцировать только последний, что сводится к замене Тогда выражение примет вид

что (ввиду произвольности f) как раз соответствует определению классической функции распределения.

Ниже мы будем писать уравнения для гриновской функции наиболее тесно связанной (согласно (92,5)) с матрицей плотности. Введем для нее «четырехмерное» смешанное представление

где , причем Тогда

интегрирование эквивалентно тому, что полагается

После этих предварительных определений, перейдем к выводу кинетического уравнения.

Возьмем -компоненту уравнений (94,6) и (94,7) и составим их почленную разность:

Оператор, действующий на функцию в левой стороне уравнения:

Перейдем теперь в обеих сторонах уравнения (95,9) к фурье-компонентам (95,7) и положим (или, что то же, проинтегрируем по ).

С учетом (95,8) найдем, что левая сторона уравнения (95,9) примет в результате вид

— как раз требуемый вид левой стороны кинетического уравнения для функции распределения . Правая же часть уравнения (95,9) после фурье-преобразования должна поэтому дать интеграл столкновений, .

Переход к фурье-компонентам в этой части должен быть произведен с учетом условий квазиклассичности. Интеграл в (95,9) представляет собой сумму членов вида

Выразим множители и G в виде функций от разностей и полусумм «4-координат»:

При переходе к фурье-компонентам по первым аргументам существенна область значений разностей координат и разностей времен Согласно условиям (95,1), на этих интервалах и G как функции своих вторых аргументов меняются мало. Поэтому можно приближенно заменить эти аргументы значениями

после чего можно переходить к фурье-представлению при заданном значении X. В результате правая сторона уравнения (95,9) примет вид

(95,10)

где все функции в подынтегральном выражении имеют одинаковые аргументы ; во втором равенстве использованы соотношения (92,7) и (94,15).

Применим формулу (95,10) к модели почти идеального ферми-газа, рассматривавшейся уже в IX, §§ 6, 21. Как и там, будем условно считать, что потенциал взаимодействия между частицами удовлетворяет условию применимости теории возмущений; для перехода к истинному взаимодействию (не удовлетворяющему этому условию) достаточно выразить ответ через амплитуду рассеяния.

Имея в виду найти интеграл столкновений в первом неисчезающем приближении теории возмущений по взаимодействию частиц, можно считать, что точные G-функции в (95,10) связаны с функцией распределения теми же формулами (92,20-21), что и в идеальном газе; это означает пренебрежение малыми поправками за счет взаимодействия к энергии частицы газа. Выражения (92,20-21) относятся, строго говоря, к однородному и стационарному состоянию газа, но в квазиклассическом случае, ввиду медленности изменения с координатами и временем, можно пользоваться теми же выражениями, понимая в них в качестве функцию , в которой t и играют роль параметров. Интегрирование по со устраняет -функции и получается

(95,11)

Уже из самого вида этого выражения ясно, что первый член в нем описывает «приход» частиц, возможный лишь при второй же член описывает «уход», пропорциональный . Остается вычислить собственно-энергетические функции

Первый неисчезающий вклад в них дают диаграммы второго порядка (ср. (94,9)); так,

(95,12)

где . После замены U на (см. ниже) вклады в 2 от этих двух диаграмм связаны друг с другом равенством (минус — из-за замкнутой петли в диаграмме а, а коэффициент 2 — из-за спинового суммирования в этой петле; ср. аналогичные вычисления в IX, § 21). Раскрыв диаграмму в аналитическом виде, получим

В вырожденном газе длина волны частиц автоматически велика по сравнению с радиусом сил взаимодействия в силу условия разреженности газа (см. IX, § 6); это позволяет заменить на значение при

Подставив для функций выражения (92,20-21) и устранив две -функции интегрированием по «временным» компонентам 4-векторов и Р, убедимся в том, что первый член в (95,11) действительно совпадает с членом «прихода» в интеграле столкновений (74,5) (причем ). Аналогичным образом вычисляется и второй член в (95,11) оказывается совпадающим с членом «ухода» в том же интеграле столкновений.