§ 67. Кинетическое уравнение для фононов в диэлектрике

В твердом кристалле фононы образуют разреженный газ, кинетическое уравнение для них составляется подобно тому, как это делается для обычного газа.

Пусть - функция распределения фононов сорта. Кинетические уравнения (для каждого сорта фононов) записываются в виде

где - скорость фононов.

Существенное отличие от ситуации в обычных газах состоит, однако, в том, что столкновения в фононном газе не сохраняют, вообще говоря, ни числа фононов, ни (ввиду наличия процессов переброса) их суммарного квазиимпульса. Единственным законом сохранения остается лишь закон сохранения энергии. Он выражается соотношением

Умножив уравнение (67,1) на интегрируя по и суммируя по g, получим закон сохранения энергии в виде

(67,3)

где плотность тепловой энергии кристалла Е и плотность ее потока q даются естественными выражениями

Интеграл столкновений в (67,1) должен в принципе учитывать все процессы, могущие происходить в результате взаимодействия фононов сорта g со всеми другими фононами. Фактически, однако, основной вклад в него возникает от трехфононных процессов, рассмотренных в предыдущем параграфе. Процессы с участием большого числа фононов возникают от следующих членов разложения гамильтониана по степеням смещений атомов; эти члены быстро убывают с увеличением их порядка. Причиной уменьшения является малость отношения амплитуды колебаний к постоянной решетки d; в твердых кристаллах оно остается малым при всех температурах, вплоть до температуры плавления. Для грубой оценки можно исходить из классического соотношения ; оценив характерное значение частоты как найдем что

Как всегда, интеграл столкновений представляет собой разность числа процессов, приводящих (в единицу времени) к появлению фононов в заданном состоянии , и числа процессов, уводящих фононы из этого состояния. С учетом лишь трехфононных процессов имеем

где Первый член в фигурных скобках отвечает прямому и обратному процессам

(67,7)

множитель 1/2 в этом члене учитывает, что ввиду тождественности фононов надо суммировать лишь по половине конечных состояний. Второй же член отвечает процессам

в этом члене множитель 1/2 не нужен, так как один из двух распадных фононов задан. Обратим внимание на то, что в под интегральном выражении в (67,6) тройные произведения сокращаются.

Интеграл столкновений тождественно обращается в нуль равновесным распределением фононов — распределением Планка

Для интеграла (67,6) в этом легко убедиться прямой проверкой: перемножение множителей дает

(67,10)

а в силу закона сохранения энергии экспоненциальный множитель в правой стороне обращается в единицу.

Если бы отсутствовали процессы переброса, то сохранялась бы не только суммарная энергия, но и суммарный квазиимпульс фононов. Тогда равновесной являлась бы не только функция распределения (67,9), но и функции

(67,11)

отвечающие поступательному движению (дрейфу) фононного газа как целого с произвольной скоростью V относительно решетки.

Это утверждение отвечает общим принципам статистики. В его справедливости можно убедиться и непосредственно: с функциями (67,11) в качестве в правой стороне равенства (67,10) появится еще и множитель

обращающийся в единицу для процессов без переброса, когда

Но распределение вида (67,11) приводит, разумеется, к отличному от нуля потоку энергии q. Таким образом, в отсутствие процессов переброса в кристалле было бы возможно существование потока тепла при постоянной вдоль всего тела температуре; другими словами, кристалл обладал бы бесконечной теплопроводностью. Конечная теплопроводность возникает только в результате существования процессов переброса.

Для вычисления теплопроводности надо написать кинетическое уравнение для кристалла с медленно меняющейся вдоль его объема температурой. Как обычно, ищем функции распределения фононов в виде

где — малая поправка к равновесной функции. Кинетические уравнения принимают тогда вид

(67,13)

где линеаризованный интеграл столкновений.

Функции должны удовлетворять еще и дополнительному условию

(67,14)

означающему, что возмущенные функции распределения должны приводить к тому же значению плотности энергии решетки, что и равновесные функции. Как уже было отмечено в § 6, этим условием по существу устанавливается смысл определения температуры в неравновесном теле. Что касается других условий, которые налагались на в § 6, то в случае газа фононов (в отличие от обычного газа) эти условия отсутствуют.

Число частиц в фононном газе вообще не является заданной величиной, а устанавливается температурой. Суммарный же. истинный импульс (не квазиимпульс!) фононов в кристалле автоматически равен нулю; противное означало бы течение твердого тела, заведомо невозможное для идеальной (без дефектов) кристаллической решетки. Каждый атом в решетке совершает лишь финитное движение — колебания вблизи узлов решетки; средний импульс такого движения тождественно равен нулю. Таким образом, поток фононов (связанный с потоком энергии) в твердом кристалле не сопровождается переносом массы.

Выпишем в явном виде линеаризованный интеграл столкновений (67,6). При этом целесообразно ввести вместо новые неизвестные функции согласно определению

Проведение линеаризации упрощается, если заметить, что

Напишем выражение в квадратных скобках (например, в первом интеграле в (67,6)) в виде

В вынесенных из квадратных скобок множителях можно прямо положить Разность же в квадратных скобках дает

где учтено равенство

Таким образом, интеграл столкновений приводится к виду

(67,17)

Обратим внимание на то, что функция входит в подынтегральные выражения в виде простых сумм ее значений для различных к (подобно тому, как это было в классическом интеграле столкновений в газах (6,4-5)).

Уравнение (67,13) имеет очевидное решение

тождественно обращающее в нуль интеграл (67,17) в силу сохранения энергии при столкновениях. Как уже было объяснено в § 6, это «паразитное» решение отвечает просто изменению температуры на малую постоянную величину; оно исключается наложением дополнительного условия (67,14).

Другое же «паразитное» решение

(67,19)

( - константа), отвечающее малому изменению скорости движения фононного газа как целого (ср. (6,6)), исключается уже существованием процессов переброса, нарушающих сохранение суммарного квазиимпульса фонона.