Задачи

1. Определить границу области неустойчивости пучка в холодной плазме со стороны значений близких к

Решение. При малых значениях разности точность уравнения (61,7) недостаточна. Сохранив в уравнении из (61,3)) также и член следующего порядка по , получим

Введя новые величины согласно

перепишем это уравнение в виде

(для определенности считаем, что близко к а не к ). Все три корня уравнения (1) вещественны при чем и определяется область устойчивости. Два из этих корней соответствуют двум корням уравнения (61,6), а третий — близкой к ним при частоте колебаний неподвижной плазмы.

2. При условии, обратном к (61,12), исследовать устойчивость пучка с тепловым разбросом скоростей.

Решение. В указанных условиях пучковая ветвь в спектре колебаний отсутствует. Что касается основной ветви плазменных колебаний, то наличие пучка малой плотности мало влияет на вещественную часть ее частоты, которая по-прежнему дается (при ) формулой (32,5):

Декремент же затухания у дается суммой декрементов от самой плазмы и от пучка. Согласно (31,7) имеем

Область неустойчивости определяется условием у Для этого во всяком случае должно быть Наибольший инкремент будет при . В этой области первый член в (1) экспоненциально мал (в силу ) и им можно пренебречь (если только не слишком мало). Тогда инкремент у будет даваться лишь вторым членом; отметим, что он пропорционален плотности пучка

3. Исследовать устойчивость ионно-звуковых волн в двухтемпературной плазме в которой электронная компонента движется относительно ионной с макроскопической скоростью V, причем

Решение. При условии направленное движение электронов мало сказывается на законе дисперсии ионно-звуковых волн, который будет по-прежнему даваться формулой (33,4):

Декремент же затухания (его электронная часть) получается из (33,6) заменой (61,4):

Условие неустойчивости: для этого во всяком случае должно быть Вблизи границы неустойчивости множитель в (2) мал, и тогда может оказаться необходимым учет в у также и ионной части затухания, которая в обычных условиях мала.