Задачи
1. Определить границу области неустойчивости пучка в холодной плазме со стороны значений
близких к
Решение. При малых значениях разности
точность уравнения (61,7) недостаточна. Сохранив в уравнении
из (61,3)) также и член следующего порядка по
, получим
Введя новые величины
согласно
перепишем это уравнение в виде
(для определенности считаем, что
близко к
а не к
). Все три корня уравнения (1) вещественны при
чем и определяется область устойчивости. Два из этих корней соответствуют двум корням уравнения (61,6), а третий — близкой к ним при
частоте колебаний неподвижной плазмы.
2. При условии, обратном к (61,12), исследовать устойчивость пучка с тепловым разбросом скоростей.
Решение. В указанных условиях пучковая ветвь в спектре колебаний отсутствует. Что касается основной ветви плазменных колебаний, то наличие пучка малой плотности мало влияет на вещественную часть ее частоты, которая по-прежнему дается (при
) формулой (32,5):
Декремент же затухания у дается суммой декрементов от самой плазмы и от пучка. Согласно (31,7) имеем
Область неустойчивости определяется условием у
Для этого во всяком случае должно быть
Наибольший инкремент будет при
. В этой области первый член в (1) экспоненциально мал (в силу
) и им можно пренебречь (если только
не слишком мало). Тогда инкремент у будет даваться лишь вторым членом; отметим, что он пропорционален плотности пучка
3. Исследовать устойчивость ионно-звуковых волн в двухтемпературной плазме
в которой электронная компонента движется относительно ионной с макроскопической скоростью V, причем
Решение. При условии
направленное движение электронов мало сказывается на законе дисперсии ионно-звуковых волн, который будет по-прежнему даваться формулой (33,4):
Декремент же затухания (его электронная часть) получается из (33,6) заменой (61,4):
Условие неустойчивости:
для этого во всяком случае должно быть
Вблизи границы неустойчивости множитель
в (2) мал, и тогда может оказаться необходимым учет в у также и ионной части затухания, которая в обычных условиях мала.