§ 75. Теплопроводность и вязкость ферми-жидкости

Температурные зависимости коэффициентов вязкости и теплопроводности ферми-жидкости могут быть установлены уже из простых качественных соображений (И. Я. Померанчук, 1950).

Согласно элементарной газокинетической формуле (8,11), коэффициент вязкости , где — масса частиц, - плотность их числа, - средняя тепловая скорость, - длина свободного пробега. В данном случае роль частиц играют квазичастицы, но, поскольку числа тех и других совпадают, произведение есть независящая от температуры величина — плотность жидкости . Скорость , где - независящая от температуры скорость да ферми-поверхности. Длина пробега где — время между столкновениями квазичастиц. Последнее меняется с температурой как (см. IX, § 1), так что и вязкость

Коэффициент теплопроводности оценивается по формуле (7,10): , где с — теплоемкость (отнесенная к одной частице). Для ферми-жидкости и потому

Для точного определения надо обратиться к кинетическому уравнению. Наметим, на примере теплопроводности, ход соответствующих вычислений.

Преобразование левой частй кинетического уравнения (74,4) производится аналогично тому, как это было сделано в § 7 для задачи о теплопроводности классического газа.

Пусть вдоль жидкости существует градиент температуры, причем жидкость макроскопически неподвижна. В силу последнего условия, давление постоянно вдоль жидкости, а распределение температуры стационарно. В левой стороне уравнения (74,4) в качестве подставляем их локально-равновесные выражения с меняющейся вдоль жидкости температурой. Тогда и остается лишь член (индекс опускаем). Функция содержит лишь комбинацию а поскольку мы ищем лишь предельные (при законы, то химический потенциал можно положить равным его значению при (совпадающему с граничной энергией ). Тогда

и кинетическое уравнение принимает вид

с из (74,24). На решение этого уравнения должно быть наложено дополнительное условие, выражающее отсутствие макроскопического переноса массы:

В силу этого условия, в потоке энергии (74,23) остается лишь второй член.

Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, система уравнений (75,3-5) не содержит явно функции взаимодействия квазичастиц, так что задача о теплопроводности ферми-жидкости (и то же самое относится к задаче о вязкости) по форме совпадает с такой же задачей для ферми-газа.

Определяющую роль во всех интегралах играет область размытости распределения Ферми, в которой а импульсы квазичастиц близки к радиусу ферми-сферы в этой области

Во всех местах, где импульсы фигурируют не в виде разности можно положить , а скорость можно положить везде равной . В частности, это можно сделать в до, которая становится в результате функцией «только от углов, определяющих относительную ориентацию векторов . При заданных закон сохранения импульса фиксирует угол между векторами интегрирование по этому углу устраняет -функцию в интеграле столкновений. После этого остаются интегрирования по абсолютным величинам (помимо интегрирований по остальным угловым переменным). Интегрирование по ним заменяем интегрированием по , где - переменные, от которых зависят функции распределения ввиду быстрой сходимости эти интегрирования можно распространить от до . В результате найдем, что весь интеграл пропорционален Т, а решение уравнения (75,3) будет иметь вид

После подстановки этой функции в (74,23) и интегрирования по направлениям v тепловой поток примет вид причем

Отсюда снова видно, что

Указанные выше упрощения интеграла столкновений оказываются достаточными для того, чтобы точно решить кинетическое уравнение (и то же самое относится к задаче о вязкости). В результате для коэффициентов получаются формулы, выражающие их через параметры и через определенным образом усредненную по направлениям функцию .