§ 39. Солитоны в слабо диспергирующей среде

Существование (в среде без диссипации) нелинейных волн со стационарным профилем тесно связано с наличием дисперсии. В недиспергирующей среде учет нелинейности неизбежно нарушает стационарность волны; скорость распространения различных точек профиля оказывается зависящей от значения амплитуды в этих точках, что и приводит к искажению профиля. Так, в гидродинамике идеальной сжимаемой жидкости нелинейные эффекты приводят к постепенному увеличению крутизны переднего фронта волны (см. VI, § 94).

Дисперсия же, со своей стороны, приводит к постепенному расплыванию профиля, и оба влияния могут взаимно компенсироваться, приводя к стационарности профиля волны.

В этом параграфе мы изучим эти явления в общем виде для довольно широкой категории случаев распространения волн в бездиссипативной слабо диспергирующей среде с учетом слабой же нелинейности.

Пусть - скорость распространения волны в линейном приближении, при пренебрежении дисперсией. В этом приближении в одномерной волне, распространяющейся в одну сторону вдоль оси все величины зависят от и t только в комбинации . В дифференциальном виде это свойство выражается уравнением

где b обозначает какую-либо из колеблющихся в волне величин.

Постоянной скорости отвечает закон дисперсии волн . В диспергирующей среде этот закон представляет собой лишь первый член разложения функции по степеням малого k. С учетом следующего члена имеем

где (-постоянная, которая может в принципе быть как положительной, так и отрицательной.

Дифференциальное уравнение, описывающее в линейном приближении распространение (в одну сторону) волны в среде с такой дисперсией, имеет вид

действительно, для волны, в которой , отсюда получается (39,1).

Наконец, учет нелинейности приводит к появлению в уравнении членов более высокого порядка по b. Эти члены во всяком случае должны удовлетворять условию обращения в нуль при постоянном (не зависящем от х) b, что отвечает просто однородной среде.

Ограничившись членом с производной наиболее низкого порядка (малые ), напишем уравнение распространения слабо нелинейной волны в виде

где а — постоянный параметр (который тоже может в принципе иметь оба знака).

Для упрощения записи этого уравнения введем вместо новую переменную и вместо b — новую неизвестную функцию а, определив их согласно

Тогда получим

В таком виде это уравнение называют уравнением Кортевега—де Вриза . Будем считать сначала для определенности, что постоянная

Нас будут интересовать решения, описывающие волны со стационарным профилем. В таких решениях функция зависит только от разности с некоторым постоянным :

при этом скорость распространения волны есть

Подставив (39,5) в (39,4) и обозначив дифференцирование по штрихом, получим уравнение

Отметим, что оно инвариантно относительно замены

с произвольной постоянной V.

Первый интеграл уравнения (39,7):

Умножив это равенство на 2а' и интегрируя еще раз, получим

Вместо трех постоянных целесообразно ввести другие постоянные — три корня кубического трехчлена, стоящего в правой стороне (39,9). Обозначив эти корни через напишем

(39,10)

Постоянная связана с новыми постоянными равенством

(39,11)

Нас будут интересовать лишь такие решения уравнения (39,10), в которых величина ограничена; неограниченный рост противоречил бы предположению о слабой нелинейности. Легко видеть, что это условие не выполняется, если среди корней имеются комплексные; пусть это будут (причем ). Действительно, в таком случае правая сторона (39,10) принимает вид и ничто не мешает а стремиться к .

Таким образом, постоянные должны быть вещественными; расположим их в порядке Поскольку выражение в правой стороне уравнения (39,10) должно быть положительным, то функция а может меняться лишь в интервале . Без ограничения общности можно положить этого всегда можно достичь преобразованием вида (39,8). Условившись о таком выборе, перепишем уравнение (39,10) в виде

(39,12)

Решение этого уравнения имеет различный характер при и при . В первом случае интегрирование уравнения дает

(39,13)

начало отсчета выбрано в точке максимума функции (здесь и ниже мы пишем, для упрощения обозначений, профиль волны как функцию от в некоторый заданный момент времени .

Это решение описывает уединенную волну (солитон): при функция вместе со своими производными обращается в нуль. Постоянная дает амплитуду солитона, а его ширина убывает с ростом амплитуды как . Согласно (39,11) имеем , так что скорость солитона

(39,14)

Эта скорость и растет с увеличением амплитуды.

Снова напомним, что нелинейность процессов, описываемых уравнением предполагается слабой. Условие этой малости имеет естественный смысл; так, если роль величины а играет изменение плотности среды, то это изменение должно быть малым по сравнению с невозмущенной плотностью. В то же время «степень нелинейности» этих процессов характеризуется еще и другим безразмерным параметром: , где - характерная длина, а - амплитуда возмущения. Этот параметр определяет относительную роль эффектов нелинейности и дисперсии и может быть как малым (преобладание эффекта дисперсии), так и большим (преобладание эффекта нелинейности). Для солитона, ширина которого этот параметр порядка 1.

Перейдем к случаю в этом случае решение уравнения (39,12) описывает периодическую в пространстве, бесконечно протяженную волну. Интегрирование уравнения дает

где - эллиптический интеграл первого рода:

причем

начало отсчета выбрано в одном из максимумов функции а

Обращая формулу (39,15) путем введения эллиптической функции Якоби, получим

(39,18)

Эта функция периодична, причем ее период (длина волны) по координате равен

где полный эллиптический интеграл первого рода. Среднее по периоду значение функции (39,18):

(39,20)

где — полный эллиптический интеграл второго рода. Естественно рассматривать периодическую волну, в которой среднее значение колеблющейся величины равно нулю. Этого всегда можно добиться преобразованием (39,8), вычитая величину (39,20) из функции (39,18). Скорость распространения волны равна тогда

Малым амплитудам колебаний соответствуют значения параметра . Воспользовавшись приближенным выражением

найдем, что решение (39,18) переходит в этом случае, как и следовало, в гармоническую волну

При этом скорость (39,21) становится равной соответствии с (39,1).

Обратному предельному случаю больших амплитуд (в рассматриваемой модели ролн) отвечают значения причем параметр . Имея в виду предельную формулу

найдем, что в этом пределе длина волны возрастает по логарифмическому закону

Другими словами, последовательные пучности волны раздвигаются на большие расстояния друг от друга.

Профиль волны вблизи каждой из них получается из (39,18) с помощью предельного выражения функции при справедливой при конечных значениях . В результате мы возвращаемся к формуле (39,13). Таким образом, в пределе периодическая волна разбивается на совокупность следующих друг за другом удаленных солитонов.

До сих пор мы предполагали, что Случай, когда постоянная не требует особого рассмотрения: изменение знака в уравнении (39,4) эквивалентно замене Поскольку при такой замене аргумент в (39,5) превращается в , то скорость распространения волны будет теперь . Так, для солитона полученные выше результаты изменятся лишь в том отношении, что функция а станет отрицательной, а его скорость .

Уравнение обладает некоторыми специфическими свойствами, позволяющими установить для него ряд общих теорем. Они основаны на формальной связи, существующей между уравнением и задачей о собственных значениях уравнения типа уравнения Шредингера (С. S. Gardner, J. М. Greene, М. D. Kruskal, R. М. Miura, 1967).

Рассмотрим уравнение

и будем снова для определенности считать, что Уравнение (39,23) имеет вид уравнения Шредингера, в котором функция играет роль потенциальной энергии, зависящей от t как от параметра. Пусть функция в некоторой области положительна и стремится к нулю при Тогда уравнение (39,23) будет обладать собственными значениями , отвечающими «финитному движению в потенциальной яме в силу зависимости функции а от t, эти собственные значения, вообще говоря, тоже зависят от

Покажем, что собственные значения не будут зависеть от t, если функция удовлетворяет уравнению

Выразив из (39,23) а в виде

и подставив в (39,4), после прямого вычисления получим

(39,24)

где

(39,25)

существенно, что правая сторона (39,24) оказывается выраженной в виде производной по от выражения, обращающегося в нуль при (напомним, что собственные функции дискретного спектра уравнения (39,23) исчезают на бесконечности).

Поэтому интегрирование равенства (39,24) по всем от до дает

и, ввиду конечности стоящего здесь нормировочного интеграла функции отсюда следует, что

Покажем теперь, что уравнение (39,23) имеет всего одно дискретное собственное значение в случае стационарного «потенциала» вида (39,13), отвечающего одиночному солитону. С этим «потенциалом» уравнение (39,23) имеет вид

причем

(39,27)

Дискретные собственные значения уравнения (39,26) даются формулой

причем должно быть (см. III, § 23, задача 4). Со значениями параметров из так что имеется всего одно собственное значение

(39,28)

Если же «потенциал» представляет собой совокупность солитонов, находящихся на больших расстояниях друг от друга (так что «взаимодействие» между ними отсутствует), то спектр собственных значений уравнения (39,23) будет складываться из «уровней» (39,28) в каждой из потенциальных ям, причем каждый из них определяется амплитудой а соответствующего солитона.

Поскольку скорость распространения солитона растет с увеличением его амплитуды, то солитон большей амплитуды в конце концов всегда догонит солитон меньшей амплитуды. Произвольная начальная совокупность удаленных друг от друга солитонов после процессов взаимных «столкновений» в конце концов превратится в совокупность солитонов, расположенных в порядке возрастания их амплитуд (напомним, что все возмущения, описываемые уравнением распространяются в одну сторону!).

Полученные выше результаты позволяют сразу же сделать интересное заключение: начальная и конечная совокупности солитонов одинаковы по общему числу и по амплитудам солитонов, отличаясь лишь порядком их расположения. Это следует непосредственно из того, что каждый из изолированных солитонов соответствует одному из собственных значений , а эти значения от времени не зависят.

Вообще, всякое положительное начальное возмущение, занимающее конечную область пространства, в ходе своей эволюции, согласно уравнению в конце концов распадается в совокупность изолированных солитонов, амплитуды которых уже не зависят от времени. Эти амплитуды и число солитонов можно в принципе найти путем определения спектра дискретных собственных значений уравнения (39,23) с начальным распределением а ) в качестве «потенциала». Если же начальное возмущение содержит в себе также и участки с то в ходе его эволюции возникает еще и волновой пакет, постепенно расплывающийся, не распадаясь на солитоны.

Во избежание недоразумений надо, однако, уточнить, что именно подразумевается под начальным возмущением в уравнении Реальное возмущение, возникающее в среде в некоторый момент времени, в ходе своей эволюции (описываемой полным волновым уравнением второго порядка по времени) распадается, вообще говоря, на два возмущения, распространяющиеся в обе стороны оси Под «начальным» для уравнения надо понимать одно из этих двух возмущений сразу после распада.

Задача

Определить коэффициенты в уравнении (39,2) для ионно-звуковых волн в плазме с

Решение. Коэффициент дисперсии получается из (33,4) разложением по малой величине

где

При определении же коэффициента нелинейности а можно пренебречь дисперсией вовсе, т. е. рассматривать предельный случай . В этом пределе плазму можно во всяком случае считать квазинейтральной и соответственно описывать ее гидродинамическими уравнениями изотермического идеального газа (38,3), (38,7). Положив пишем эти уравнения с точностью до членов второго порядка по малым величинам . При этом в членах второго порядка можно положить как это имеет место в линейном приближении для волны, распространяющейся в положительном направлении оси ( - скорость волн в линейном приближении). Тогда уравнения примут вид

Дифференцируя первое уравнение по t, второе по х и исключив находим

С той же точностью заменяем производную в правой стороне уравнения и в разности в его левой стороне на Наконец, вычеркнув с обеих сторон дифференцирования и сравнив получившееся уравнение с (39,2), найдем