§ 7. Теплопроводность газа

Для вычисления коэффициента теплопроводности газа надо решать кинетическое уравнение с градиентом температуры. Сохранив в (6,19) лишь первый член в левой стороне, имеем

Решение этого уравнения надо искать в виде

где вектор g-функция только от величин Г. Действительно, при подстановке в (7,1) в обеих сторонах равенства получаем множитель Поскольку уравнение должно иметь место при произвольных значениях вектора должны быть равными коэффициенты при в обеих сторонах равенства, так что мы получаем для g уравнение

уже не содержащее (а тем самым и явной зависимости от координат).

Функция должна еще удовлетворять условиям (6,3). С функцией в виде (7,2) первые два из этих условий удовлетворяются автоматически: это очевидно уже из того, что уравнение (7,3) не содержит никаких векторных параметров, вдоль которых могли бы быть направлены постоянные векторы — интегралы и

Третье же накладывает на решение уравнения (7,3) дополнительное условие

Если кинетическое уравнение решено и функция известна, то можно определить коэффициент теплопроводности, вычисляя поток энергии, точнее его диссипативную часть, не связанную просто с конвективным переносом энергии (эту часть потока энергии будем обозначать посредством Но в отсутствие макроскопического движения в газе q совпадает с полным потоком энергии q, даваемым интегралом (5,9). При этот интеграл исчезает тождественно за счет интегрирования по направлениям v. Поэтому при подстановке f (6,1) остается

или, в компонентах,

Ввиду изотропии равновесного газа какие-либо избранные направления в нем отсутствуют и тензор может выражаться лишь через единичный тензор , т. е. сводится к скаляру:

Таким образом, поток энергии

где скалярный коэффициент теплопроводности

Положительность этой величины (поток q должен быть направлен противоположно градиенту температуры) автоматически обеспечивается кинетическим уравнением (см. § 9).

В одноатомных газах скорость v — единственный вектор, от которого зависит функция ясно поэтому, что эта функция должна иметь вид

В многоатомных газах функция g зависит уже от двух векторов скорости v и момента М. Если симметрия молекул не допускает существования стереоизомерии, то интеграл столкновений, а с ним и уравнение (7,3) инвариантны по отношению к инверсии; такой же инвариантностью должно обладать и его решение

Другими словами, должно быть истинным скаляром, а поскольку градиент есть истинный вектор, то таким же вектором должна быть и функция g. Так, для двухатомного газа, где векторами v и М исчерпываются величины Г, функция имеет вид

где -скалярные функции от скалярных аргументов это наиболее общий вид истинного вектора, который может быть построен из истинного же вектора v и псевдовектора

Если же вещество представляет собой стереоизомер, то инвариантность по отношению к инверсии отсутствует: как уже отмечалось в § 2, в таком случае инверсия «превращает» газ в, по существу, другое вещество. Соответственно функция сможет содержать также и псевдоскалярные члены, т. е. функция g — псевдовекторные члены (например, член вида ).

Условие применимости изложенного метода решения кинетического уравнения (основанного на предположении о близости ) можно выяснить путем оценки интеграла столкновений согласно (3,12). Средняя энергия молекулы , поэтому оценка обеих сторон уравнения (7,3) дает откуда Условие (эквивалентное требованию ) означает, следовательно, что расстояния L, на которых температура испытывает существенное изменение должны быть велики по сравнению с I. Другими словами, функция вида (6,1) представляет собой первые члены разложения решения кинетического уравнения по степеням малого отношения

Оценка интеграла (7,7) с приводит к формуле

где с — отнесенная к одной молекуле теплоемкость газа. Это — известная элементарная газокинетическая формула (ср. примечание на стр. 58). Положив в ней имеем

В этой оценке сечение а относится к средней тепловой скорости молекул, и в этом смысле его надо понимать как функцию температуры. С увеличением скорости сечение, вообще

При не слишком низких температурах молекулы газа ведут себя, Качественно, как твердые упругие частицы, взаимодействующие друг с другом лишь при непосредственных столкновениях. Такому характеру взаимодействия отвечает слабо зависящее от скорости (а потому и от температуры) сечение столкновений. В этих условиях зависимость к от температуры близка к пропорциональности .

При заданной температуре коэффициент теплопроводности, как это видно из (7,11), не зависит от плотности газа или, что то же, от его давления. Подчеркнем, что это важное свойство не связано со сделанными при оценке предположениями и является точным в рамках кинетического уравнения Больцмана. Оно возникает как следствие того, что в этом уравнении учитываются только парные столкновения молекул (именно поэтому длина пробега оказывается обратно пропорциональной плотности газа).