Задачи

1. В начальный момент газ занимает полупространство х < 0. В пренебрежении столкновениями определить распределение плотности в последующие моменты времени.

Решение. В пренебрежении столкновениями кинетическое уравнение сводится к уравнению

общее решение которого есть . С учетом поставленного начального условия получим в данном случае

где - максвелловское распределение. Плотность газа

где

a - начальная плотность.

Ввиду пренебрежения столкновениями, написанные формулы фактически справедливы лишь в области

2. Определить силу, действующую на шарик радиуса R, движущийся со скоростью V в разреженном газе.

Решение. Полная сила сопротивления движению шарика равна

3. Определить скорость, с которой будет двигаться в разреженном газе невесомый плоский диск, стороны которого нагреты до различных температур

Решение. Скорость V движения диска (в направлении, перпендикулярном к его плоскости) определится из условия равенства нулю суммы сил, действующих на обе его стороны. Диск будет двигаться менее нагретой стороной вперед со скоростью, равной (считаем, что )

4. Вычислить значение коэффициента а при полной аккомодации.

Решение. Количество энергии, приносимой в единицу времени молекулами, сталкивающимися с единицей площади поверхности тела, есть где — больцмановская функция распределения с температурой газа ( — энергия молекулы, а ось х направлена перпендикулярно к поверхности тела). Количество уносимой этими же молекулами энергии получится отсюда (при полной аккомодации) просто заменой на температуру тела Поток тепла

(интегрирование по пределах от 0 до ). Энергию молекулы пишем в виде где — внутренняя энергия. Вычисление дает для каждого из интегралов значение

где — средняя энергия молекулы, а - число молекул, сталкивающихся в 1с с 1 см3 поверхности. Тепло q равно разности энергий приходящих и уходящих молекул при одинаковом числе тех и других, т. е. одинаковом v. В результате находим для коэффициента в значение

(разность предполагается малой, так что полагаем

5. То же для коэффициентов Р и у.

Решение. Нормальная составляющая импульса, приносимого молекулами, сталкивающимися в 1с с 1 см2 поверхности тела, равна половине давления газа. Выражая давление через v, имеем

Взяв разность значений этой величины при температурах и одинаковых v, получим дополнительную силу обусловленную разностью температур. Считая малой, найдем

Для коэффициента Р имеем согласно

6. То же для коэффициентов .

Решение. Выбираем систему координат, в которой тело покоится, а газ движется со скоростью V; ось направлена по нормали к поверхности, а плоскость выбрана так, чтобы V лежало в ней. Функция распределения в этой системе есть

Что касается отраженных молекул, при полной аккомодации они имеют функцию распределения с считаем равным нулю.

При вычислении касательной силы полагаем Приносимая падающими на поверхность тела молекулами полная компонента импульса есть

интегрирование производится везде в пределах от 0 до . Уносимая же ими - компонента импульса исчезает. Таким образом, так что

Пусть теперь . С точностью до членов первого порядка по имеем

где - функция распределения с Число молекул, сталкивающихся в 1 с с поверхности, есть

Приносимая этими молекулами компонента импульса есть

Отраженные от стенки молекулы имеют функцию распределения с нормированную таким образом, чтобы интеграл был равен числу падающих молекул, определенному выше. Уносимая этими молекулами -компонента импульса равна

Дополнительная к давлению нормальная сила есть , где

7. В предположении полной аккомодации определить температуру пластинки, движущейся со скоростью V в разреженном газе параллельно самой себе.

Решение. Поступая как в задаче 4, имеем для приносимой энергии:

а для уносимой:

Приравнивая эти потоки, находим

8. Определить количество газа, протекающего в единицу времени через поперечное сечение цилиндрической трубы (радиуса R) под влиянием градиентов давления и температуры. Газ настолько разрежен; что длина свободного пробега При столкновениях молекул с ее стенками имеет место полная аккомодация.

Решение. Распределение молекул по скоростям при отражении их от стенки при полной аккомодации имеет вид , где - максвелловская функция распределения, а ось х перпендикулярна к поверхности. Обозначая посредством угол между скоростью молекулы и осью найдем, что распределение отраженных молекул по направлениям их движения (независимо от абсолютной величины скорости) имеет вид

(эта функция нормирована так, что ее интеграл по всем телесным углам по одну сторону плоскости равен ).

Выбираем ось по оси трубки, а начало координат в рассматриваемом ее сечении. Через это сечение проходят молекулы, испытавшие последнее отражение от различных участков поверхности трубы. Из числа молекул, рассеянных от некоторого элемента поверхности стенки на расстояние , пройдут через заданное сечение те, которые отражены по направлениям, лежащим внутри телесного угла, под которым видно это сечение из рассматриваемой точки на поверхности трубы, т. е. молекул (интегрирование производится по указанному интервалу углов).

Этот интеграл, очевидно, одинаков для всех точек, лежащих на одинаковом расстоянии от заданного сечения. Поэтому полное число молекул, проходящих (в 1 с) через это сечение, получится заменой на кольцевой элемент поверхности и интегрированием по всей длине трубы; умножая еще на массу m молекулы, получим расход массы газа через сечение трубы:

Число v, будучи функцией давления и температуры, меняется вдоль длины трубы. Если градиенты давления и температуры вдоль длины не слишком велики, то можно написать

Интеграл с обращается, очевидно, в нуль, так что

Для проведения интегрирования вводим в плоскости рассматриваемого сечения трубы координаты где — расстояние переменной точки А от некоторой заданной точки О на окружности сечения, a — угол между отрезком ОА и радиусом сечения (рис. 3). Молекула, отраженная от стенки в точке А (лежащей на одной образующей с точкой О) и проходящая затем через точку А, должна иметь скорость под углом О с нормалью к поверхности трубы в точке А, для которого

Рис. 3.

Элемент телесного угла можно написать в виде

(площадь проектируем на плоскость, перпендикулярную к прямой АА, и делим на квадрат длины этой прямой). Интегрирование производится по области

и дает

Наконец, подставив получим окончательно

где в скобках стоит разность значений величины на длине L трубы (замена производной разностью допустима ввиду постоянства Q, а потому и этой производной, вдоль длины трубы).

9. В предположении полной аккомодации найти силу трения между двумя твердыми плоскостями (расстояние между которыми ), движущимися относительно друг друга со скоростью V; плоскости имеют температуры

Решение. Пусть плоскость (с температурой ) покоится, а плоскость 2 движется со скоростью V вдоль оси ось у направлена от первой плоскости ко второй. Молекулы со скоростями отражены соответственно от плоскостей 1 и 2: при полной аккомодации их функции распределения

где — соответствующие плотности числа частиц; полная плотность . Условие отсутствия суммарного потока в направлении оси у дает

На каждую из плоскостей действует давление и сила трения (отнесенная к единице площади)

Если , то

в соответствии с (15,15-16).

10. В предположении полной аккомодации определить коэффициент теплопередачи между двумя пластинками с близкими температурами

Решение. При полной аккомодации падающие на пластинку 1 молекулы имеют равновесное распределение с температурой Поэтому поток энергии от пластинки 1 к пластинке . Взяв из задачи 4 и определив согласно (15,13), получим

в соответствии с оценкой (15,14).

Рис. 4.

11. Определить плотность газа на оси позади кругового диска радиуса движущегося в газе со скоростью , большой по сравнению со средней тепловой скоростью атомов

Решение. При частицы, отраженные от задней поверхности диска, несущественны (за исключением узкой области у этой поверхности — см. ниже). Все дело сводится к «затенению» диском набегающего потока. В системе координат, в которой диск покоится (а газ движется со скоростью V), в отсутствие самого диска функция распределения была бы равна

В присутствии диска плотность числа частиц газа на оси (рис. 4) будет

где - угол между v и осью , а - угол, под которым радиус диска виден из точки наблюдения на оси частицы с «затенены»). Интегрирование с учетом условия дает

где — плотность газа вдали от диска. Интегрирование по выполнено в предположении (можно показать, что это же неравенство является также и условием допустимости пренебрежения отраженными от задней стенки частицами).