§ 19. Флуктуации функции распределения в равновесном газе

Определяемая кинетическим уравнением функция распределения (которую мы будем обозначать в этом и следующем параграфах как f) дает средние числа молекул, находящихся в элементах фазового объема для статистически равновесного газа функция есть независящая от времени и (если нет внешнего поля) от координат больцмановская функция распределения (6,7). Естественно возникает вопрос о флуктуациях, испытываемых точной, микроскопической функцией распределения в ходе ее изменения со временем при движении частиц газа по их точным уравнениям движения 2).

Введем корреляционную функцию флуктуаций (или, как говорят короче, коррелятор)

где . В равновесном газе эта функция зависит только от разности времен усреднение производится по одному из моментов при заданном значении их разности. Ввиду однородности газа, в виде разности входят в коррелятор также и координаты точек Поэтому можно, условно Положив равными нулю, представить коррелятор в виде

Ввиду изотропии газа, зависимость этой функции от фактически сводится к зависимости от абсолютной величины .

Если функция (19,2) известна, то ее интегрированием можно найти также и коррелятор плотности числа частиц:

Для расстояний , больших по сравнению с длиной пробега I, коррелятор плотности можно вычислить с помощью гидродинамической теории флуктуаций (см. IX, § 88). На расстояниях же I требуется кинетическое рассмотрение.

Непосредственно из определения (19,1) очевидно, что

Корреляционная функция обладает также и более глубокой симметрией, выражающей симметрию равновесного состояния системы по отношению к обращению времени. Обращение времени заменяет более поздний момент времени t на более ранний , а также меняет значения величин Г на обращенные . Указанная симметрия выражается поэтому равенством

При t = 0 функция (19,2) связывает флуктуации в различных точках фазового пространства в один и тот же момент времени. Но корреляции между одновременными флуктуациями распространяются лишь на расстоянии порядка величины радиуса действия молекулярных сил. Между тем в рассматриваемой теории такие расстояния рассматриваются как равные нулю и, таким образом, одновременный коррелятор обращается в нуль. Подчеркнем, что это обстоятельство связано именно с равновесностью состояния, относительно которого рассматриваются флуктуации. В неравновесном случае, как мы увидим в следующем параграфе, одновременные флуктуации тоже коррелированы.

В отсутствие корреляции на отличных от нуля расстояниях одновременный коррелятор сводится к -функциям, причем коэффициент при этих функциях определяет средний квадрат флуктуации в одной точке фазового пространства (ср. IX, § 88). В идеальном равновесном газе средний квадрат флуктуации функции распределения совпадает со средним значением самой этой функции (см. V, § 113) и, таким образом,

Неодновременная же корреляция между флуктуациями в различных точках существует уже и в теории, пренебрегающей молекулярными размерами.

Необходимость возникновения этой корреляции очевидна уже из того, что частицы, участвующие в определенный момент во флуктуации в некотором месте фазового пространства, в следующие моменты будут уже находиться в других местах.

Задача о вычислении коррелятора при не может быть решена в общем виде, но может быть сведена к решению определенных уравнений. Для этого надо вспомнить следующее положение общей теории квазистационарных флуктуаций (см. V, §§ 118, 119).

Пусть - флуктуирующие величины (с равными нулю средними значениями). Предполагается, что если система находится в неравновесном состоянии со значениями выходящими за пределы их средних флуктуаций (но все же малыми), то процесс релаксации системы к равновесию описывается линейными «уравнениями движения» вида

с постоянными коэффициентами Тогда можно утверждать, что корреляторы величин удовлетворяют таким же уравнениям

(индекс с в этой системе уравнений свободный). Решив эти уравнения при найдем затем значения функций при согласно свойству симметрии

являющемуся следствием определения корреляторов.

В данном случае роль уравнений движения (19,7) играет линеаризованное уравнение Больцмана для малой добавки к равновесной функции распределения . Таким образом, коррелятор функции распределения должен удовлетворять интегро-дифференциальному уравнению

(19,10)

где - линейный интегральный оператор, действующий на переменные в следующей за ним функции согласно определению:

Переменные же в уравнении - свободные. Начальным условием для уравнения служит значение (19,6) коррелятора при а коррелятор при определяется затем равенством (19,4) (условие же (19,5) удовлетворяется в результате автоматически).

Формулы (19,10-11), (19,4) и дают ту совокупность уравнений, которые в принципе достаточны для полного определения коррелятора.

Обычно представляет интерес не сам коррелятор, а его фурье-образ по координатам и времени, который мы обозначим символом , где индексы 1 и 2 обозначают аргументы Г и :

(19,12)

(спектральная функция флуктуаций, или спектральный коррелятор). Если флуктуирующую функцию разложить в интеграл Фурье по времени и координатам, то среднее значение произведений ее фурье-компонент связано со спектральным коррелятором формулой

(19,13)

(ср. V, § 122).

Легко написать уравнение, которое позволяет в принципе определить спектральную функцию флуктуаций без предварительного вычисления пространственно-временного коррелятора.

Разбив область интегрирования по t в (19,12) на две части (от до 0 и от 0 до ) и используя (19,4), получим

(19,14)

где

(19,15)

Совершим над уравнением (19,10) одностороннее преобразование Фурье (19,15). При этом члены с производными по t и по интегрируем по частям, учитывая, что коррелятор должен стремиться к нулю при и при , а при должен даваться формулой (19,6). В результате получим искомое уравнение в виде

(19,16)

Если интересоваться не флуктуациями самой функции распределения, а лишь флуктуациями плотности газа, целесообразно проинтегрировать уравнение (19,16) по :

(19,17)

Искомая же спектральная функция получается из решения этого уравнения однократным (а не двукратным, как в (19,3)) интегрированием.

Другой способ нахождения основан на связи коррелятора плотности с обобщенной восприимчивостью по отношению к слабому внешнему полю вида

(19,18)

(см. IX, § 86). Если под влиянием этого поля возникает изменение плотности

(19,19)

то (согласно IX, (86,20)) в классическом пределе спектральный коррелятор плотности

(19,20)

Пусть - изменение функции распределения под влиянием этого же поля. Оно удовлетворяет кинетическому уравнению

Фурье-компоненты функции запишем в виде

выделив в них внешнее поле. Тогда для имеем уравнение

(19,21)

По решению этого уравнения искомый спектральный коррелятор определяется однократным интегрированием:

(19,22)