§ 50. Кинетическое уравнение для релятивистской плазмы

Если скорости частиц (электронов) в плазме не малы по сравнению со скоростью света, кинетическое уравнение должно быть записано с учетом релятивистских эффектов (С. Т. Беляеву Г. И. Будкер, 1956).

Покажем предварительно, что функция распределения в фазовом пространстве, является релятивистски инвариантной величиной. Для этого заметим, что пространственная плотность частиц и плотность их потока, т. е. интегралы

должны составлять 4-вектор (ср. II, § 28). Имея в виду, что в релятивистской механике скорость частицы с импульсом и энергией есть можно записать этот 4-вектор в виде

где -импульс. Но выражение является 4-скаляром (см. II, § 10). Ясно поэтому, что из 4-векторности интеграла (50,1) следует, что функция f - 4-скаляр.

Переходя к выводу кинетического уравнения, замечаем, что произведенные в § 41 вычисления остаются в силе и в релятивистском случае вплоть до выражения (41,3-4) для плотности потока в импульсном пространстве. Необходимо лишь вычислить заново величины

Величина здесь по-прежнему относительная скорость двух частиц. Напомним, однако, что в релятивистской механике она определяется как скорость одной частицы в системе покоя другой и, вообще говоря, не сводится к разности (см. II, § 12).

Выясним, прежде всего, трансформационный характер этих величин. Произведение

есть число актов рассеяния, происходящих в объеме в течение времени между двумя частицами с импульсами в заданных интервалах по своему определению это число есть инвариант. Переписав его в виде

и заметив, что последние пять множителей (отделенных точками) инвариантны, заключаем, что и первый множитель, есть инвариант.

Отсюда в свою очередь следует, что интегралы

образуют симметричный 4-тензор. Величины же (50,2) связаны с пространственными компонентами этого 4-тензора согласно

Вычислим сначала 4-тензор (50,3) в системе отсчета, в которой одна из частиц (скажем, частица ) покоится. Релятивистское сечение резерфордовского рассеяния частиц на покоящихся (до столкновения) частицах при малых углах рассеяния имеет вид

Такое же вычисление, как при выводе (41,8), приводит к следующему выражению для пространственных компонент тензора (50,3):

Остальные же компоненты надо считать равными нулю:

Действительно, изменение энергии частиц при столкновении в рассматриваемой системе отсчета есть величина второго порядка по малому углу рассеяния; поэтому оказались бы величинами третьего или четвертого порядка малости, между тем как весь вывод интеграла столкновений производится лишь с точностью до величин второго порядка.

Из (50,6-7) имеем

Этот 4-скаляр можно записать в инвариантном виде, заметив, что в системе покоя частицы имеем

где -скорости обеих частиц.

Поэтому

Из (50,6-7) находим также, что

а ввиду релятивистски инвариантного вида этих равенств они справедливы и в любой системе отсчета.

Выражение 4-тензора справедливое в произвольной системе отсчета, должно, очевидно, быть симметричным по отношению к обеим частицам. Общий вид такого -тензора, зависящего только от 4-векторов , есть

где — скаляры. Определив последние из условий (50,8-9), получим

(50,10)

Наконец, взяв пространственную часть этого 4-тензора в произвольной системе отсчета, получим окончательно следующее выражение для величин входящих в интеграл столкновений:

(50,11)

где

— лоренцевы множители для обеих частиц. Отметим, что, несмотря на свой более сложный (чем в нерелятивистском случае) вид, трехмерный тензор (50,11) по-прежнему удовлетворяет соотношениям

(50,12)

Для оценки кулоновского логарифма заметим, что в релятивистском случае имеет место борновская ситуация; Поэтому для и -столкновений

(50,13)

Для -столкновений надо заменить на (если ионы тоже релятивистские) или же пользоваться обычными нерелятивистскими выражениями.

Кинетическое уравнение с кулоновским интегралом столкновений имеет смысл до тех пор, пока резерфордовское рассеяние является главной причиной изменения импульса и энергии электрона. Конкурирующим процессом здесь является тормозное излучение (а при наличии в плазме заметного числа фотонов — также и эффект Комптона). Сечение (транспортное) резерфордовского рассеяния имеет порядок величины

Сечение же тормозного испускания фотонов с энергией :

(ср. IV, (93,17)).

Эти сечения сравниваются при

Задачи

1. Найти скорость передачи энергии от электронов с температурой к ионам с температурой

Решение. Вплоть до (42,3), произведенные в § 42 вычисления остаются в силе. Величины же берем из (50,4), (50,6), положив v и с:

В результате находим

Выразив энергию ультрарелятивистских электронов через их температуру согласно (см. задачу в V, § 44), получим

2. Найти электропроводность релятивистской лоренцевой плазмы. Решение. После пренебрежения -столкновениями и перехода к пределу ход решения в релятивистском случае совпадает с решением нерелятивистской задачи в § 44. Для поправки к функции распределения в постоянном электрическом поле снова получается

(ср. (44,5)), с той лишь разницей, что частота столкновений определяется теперь релятивистским сечением резерфордовского рассеяния:

Вычислив ток как интеграл получим для электропроводности

В ультрарелятивистском случае , так что